En la teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , el problema de Whitehead es la siguiente pregunta:
¿Es todo grupo abeliano A con Ext 1 ( A , Z ) = 0 un grupo abeliano libre ?
Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es independiente de ZFC , los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. [1]
Refinamiento
La condición Ext 1 ( A , Z ) = 0 se puede formular de manera equivalente de la siguiente manera: siempre que B es un grupo abeliano yf : B → A es un homomorfismo de grupo sobreyectivo cuyo núcleo es isomorfo al grupo de enteros Z , entonces existe un grupo homomorfismo g : A → B con fg = ID A . Los grupos abelianos A que satisfacen esta condición a veces se denominan grupos de Whitehead , por lo que el problema de Whitehead pregunta: ¿son libres todos los grupos de Whitehead?
Precaución : Lo contrario del problema de Whitehead, es decir, que cada grupo abeliano libre es Whitehead, es un hecho teórico de grupos bien conocido. Algunos autores denominan grupo Whitehead sólo no libre del grupo A que satisface Ext 1 ( A , Z ) = 0. problema de Whitehead le pregunta: existen grupos Whitehead?
La prueba de Shelah
Saharon Shelah demostró que, dado el sistema de axiomas canónico ZFC , el problema es independiente de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos . [1] Más precisamente, mostró que:
- Si cada conjunto es construible , entonces cada grupo de Whitehead es libre;
- Si el axioma de Martin y la hipótesis de la negación del continuo se mantienen, entonces hay un grupo de Whitehead no libre.
Dado que la consistencia de ZFC implica la consistencia de los dos siguientes:
- El axioma de la constructibilidad (que afirma que todos los conjuntos son construibles);
- El axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo ,
El problema de Whitehead no se puede resolver en ZFC.
Discusión
JHC Whitehead , motivado por el segundo problema de Cousin , planteó el problema por primera vez en la década de 1950. Stein respondió afirmativamente a la pregunta para los grupos contables . [2] El progreso para grupos más grandes fue lento, y el problema se consideró importante en álgebra durante algunos años.
El resultado de Shelah fue completamente inesperado. Si bien la existencia de enunciados indecidibles se conocía desde el teorema de incompletitud de Gödel de 1931, los ejemplos anteriores de enunciados indecidibles (como la hipótesis del continuo ) se habían producido todos en la teoría de conjuntos pura . El problema de Whitehead fue el primer problema puramente algebraico que resultó indecidible.
Shelah demostró más tarde que el problema de Whitehead sigue siendo indecidible incluso si se asume la hipótesis del continuo. [3] [4] La conjetura de Whitehead es cierta si todos los conjuntos son construibles . El hecho de que esta y otras afirmaciones sobre incontables grupos abelianos sean demostrablemente independientes de ZFC muestra que la teoría de tales grupos es muy sensible a la supuesta teoría de conjuntos subyacente .
Ver también
- Grupo abeliano libre
- Torsión de Whitehead
- Lista de declaraciones indecidibles en ZFC
- Declaraciones verdaderas si todos los conjuntos son construibles
Referencias
- ↑ a b Shelah, S. (1974). "Grupos abelianos infinitos, problema de Whitehead y algunas construcciones". Revista de Matemáticas de Israel . 18 (3): 243-256. doi : 10.1007 / BF02757281 . Señor 0357114 . S2CID 123351674 .
- ^ Stein, Karl (1951). "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problema". Matemáticas. Ann . 123 : 201–222. doi : 10.1007 / BF02054949 . Señor 0043219 . S2CID 122647212 .
- ^ Shelah, S. (1977). "Los grupos de Whitehead pueden no ser libres, incluso asumiendo CH. I". Revista de Matemáticas de Israel . 28 (3): 193-203. doi : 10.1007 / BF02759809 . hdl : 10338.dmlcz / 102427 . Señor 0469757 . S2CID 123029484 .
- ^ Shelah, S. (1980). "Los grupos de Whitehead pueden no ser libres, incluso asumiendo CH. II". Revista de Matemáticas de Israel . 35 (4): 257–285. doi : 10.1007 / BF02760652 . Señor 0594332 . S2CID 122336538 .
Otras lecturas
- Eklof, Paul C. (diciembre de 1976). "El problema de Whitehead es indecidible". The American Mathematical Monthly . 83 (10): 775–788. doi : 10.2307 / 2318684 . JSTOR 2318684 . Un relato expositivo de la prueba de Shelah.
- Eklof, PC (2001) [1994], "Problema de Whitehead" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press