En topología geométrica , un campo dentro de las matemáticas, la obstrucción a una equivalencia de homotopía de complejos CW finitos que son una equivalencia de homotopía simple es su torsión Whitehead que es un elemento del grupo Whitehead . Estos conceptos llevan el nombre del matemático JHC Whitehead .
La torsión de Whitehead es importante al aplicar la teoría de la cirugía a variedades de dimensión> 4 no simplemente conectadas : para las variedades simplemente conectadas, el grupo Whitehead desaparece y, por lo tanto, las equivalencias de homotopía y las equivalencias de homotopía simple son lo mismo. Las aplicaciones son para colectores diferenciables, colectores PL y colectores topológicos. Las pruebas fueron obtenidas por primera vez a principios de la década de 1960 por Stephen Smale , para variedades diferenciables. El desarrollo de la teoría del cuerpo del mango permitió las mismas demostraciones en las categorías diferenciable y PL. Las demostraciones son mucho más difíciles en la categoría topológica, requiriendo la teoría de Robion Kirby y Laurent C. Siebenmann . La restricción a los colectores de dimensión superior a cuatro se debe a la aplicación del truco de Whitney para eliminar los puntos dobles.
Al generalizar el teorema de h -cobordismo , que es un enunciado sobre variedades simplemente conectadas, a variedades no simplemente conectadas, se deben distinguir equivalencias de homotopía simple y equivalencias de homotopía no simple. Mientras que un h -cobordismo W entre variedades cerradas conectadas simplemente conectadas M y N de dimensión n > 4 es isomorfo a un cilindro (la correspondiente equivalencia de homotopía puede tomarse como un difeomorfismo, PL-isomorfismo o homeomorfismo, respectivamente) El teorema de s -cobordismo establece que si las variedades no están simplemente conectadas, un h -cobordismo es un cilindro si y solo si la torsión de Whitehead de la inclusión desaparece.
Grupo Whitehead
El grupo Whitehead de un complejo CW conectado o una variedad M es igual al grupo Whiteheaddel grupo fundamental de M .
Si G es un grupo, el grupo Whitehead se define como el cokernel del mapaque envía ( g , ± 1) a la matriz invertible (1,1) (± g ). Aquíes el anillo de grupo de G . Recuerde que el grupo K K 1 ( A ) de un anillo A se define como el cociente de GL (A) por el subgrupo generado por matrices elementales . El grupo GL ( A ) es el límite directo de los grupos de dimensión finita GL ( n , A ) → GL ( n +1, A ); concretamente, el grupo de matrices infinitas invertibles que se diferencian de la matriz identidad solo en un número finito de coeficientes. Una matriz elemental aquí es una transvección : una tal que todos los elementos diagonales principales son 1 y hay como máximo un elemento distinto de cero que no está en la diagonal. El subgrupo generado por matrices elementales es exactamente el subgrupo derivado , en otras palabras, el subgrupo normal más pequeño, de modo que el cociente por él es abeliano.
En otras palabras, el grupo Whitehead de un grupo G es el cociente depor el subgrupo generado por matrices elementales, elementos de G y. Observe que este es el mismo que el cociente del grupo K reducidopor G .
Ejemplos de
- El grupo Whitehead del grupo trivial es trivial. Dado que el anillo de grupo del grupo trivial estenemos que demostrar que cualquier matriz puede escribirse como un producto de matrices elementales por una matriz diagonal; esto se sigue fácilmente del hecho de quees un dominio euclidiano .
- El grupo Whitehead de un grupo abeliano libre es trivial, un resultado de 1964 de Hyman Bass , Alex Heller y Richard Swan . Esto es bastante difícil de probar, pero es importante ya que se usa en la prueba de que un s -cobordismo de dimensión al menos 6 cuyos extremos son tori es un producto. También es el resultado algebraico clave utilizado en la clasificación de la teoría de la cirugía de variedades lineales por partes de dimensión al menos 5 que son homotopía equivalente a un toro ; este es el ingrediente esencial de la teoría de la estructura de Kirby-Siebenmann de 1969 de las variedades topológicas de dimensión al menos 5.
- El grupo Whitehead de un grupo de trenzas (o cualquier subgrupo de un grupo de trenzas) es trivial. Esto fue probado por F. Thomas Farrell y Sayed K. Roushon.
- El grupo Whitehead de los grupos cíclicos de órdenes 2, 3, 4 y 6 son triviales.
- El grupo Whitehead del grupo cíclico de orden 5 es . Esto fue probado en 1940 por Graham Higman . Un ejemplo de una unidad no trivial en el anillo de grupo surge de la identidaddonde t es un generador del grupo cíclico de orden 5. Este ejemplo está íntimamente relacionado con la existencia de unidades de orden infinito (en particular, la proporción áurea ) en el anillo de enteros del campo ciclotómico generado por quintas raíces de unidad.
- El grupo Whitehead de cualquier grupo finito G se genera finitamente, de rango igual al número de representaciones reales irreductibles de G menos el número de representaciones racionales irreductibles . esto fue probado en 1965 por Bass.
- Si G es un grupo cíclico finito, entonces es isomorfo a las unidades del anillo de grupo bajo el mapa determinante, entonces Wh ( G ) es solo el grupo de unidades demódulo el grupo de "unidades triviales" generado por elementos de G y −1.
- Es una conjetura bien conocida que el grupo Whitehead de cualquier grupo libre de torsión debería desaparecer.
La torsión de Whitehead
Primero definimos la torsión de Whitehead para una equivalencia de homotopía en cadena de complejos de cadenas R libres de base finita . Podemos asignar a la equivalencia de homotopía su cono de mapeo C * : = cono * (h * ) que es un complejo de cadena R libre de base finita contractible . Dejar ser cualquier contracción en cadena del cono de mapeo, es decir, para todos n . Obtenemos un isomorfismo con
Definimos , donde A es la matriz de con respecto a las bases dadas.
Para una equivalencia de homotopía de complejos CW finitos conectados, definimos la torsión Whitehead como sigue. Dejar ser el ascensor de a la cobertura universal. Induce-equivalencias de homotopía en cadena . Ahora podemos aplicar la definición de la torsión de Whitehead para una equivalencia de homotopía en cadena y obtener un elemento enque asignamos a Wh (π 1 ( Y )). Esta es la torsión de Whitehead τ (ƒ) ∈ Wh (π 1 ( Y )).
Propiedades
Invarianza de homotopía: Sea ser equivalencias de homotopía de complejos CW conectados finitos. Si f y g son homotópicos, entonces.
Invarianza topológica: Si es un homeomorfismo de complejos CW conectados finitos, entonces .
Fórmula de composición: Let , ser equivalencias de homotopía de complejos CW conectados finitos. Luego.
Interpretación geométrica
El teorema de s-cobordismo establece para una variedad M orientada conectada cerrada de dimensión n > 4 que un h-cobordismo W entre M y otra variedad N es trivial sobre M si y solo si la torsión de Whitehead de la inclusióndesaparece. Además, para cualquier elemento del grupo Whitehead existe un h-cobordismo W sobre M cuya torsión Whitehead es el elemento considerado. Las pruebas usan descomposiciones de manejadores .
Existe un análogo teórico de la homotopía del teorema de s-cobordismo. Dado un complejo A de CW , considere el conjunto de todos los pares de complejos de CW ( X , A ) de manera que la inclusión de A en X es una equivalencia de homotopía. Dos pares ( X 1 , A ) y ( X 2 , A ) se dice que son equivalentes, si hay una sencilla equivalencia homotopy entre X 1 y X 2 con relación a A . El conjunto de tales clases de equivalencia formar un grupo en el que la adición se da mediante la adopción de unión de X 1 y X 2 con subespacio común A . Este grupo es isomorfo natural al grupo Whitehead Wh ( A ) del complejo A de CW . La prueba de este hecho es similar a la prueba del teorema de s-cobordismo .
Ver también
- Teoría K algebraica
- Torsión reidemeister
- teorema de s-Cobordismo
- Obstrucción de la finitud de la pared
Referencias
- Bass, Hyman ; Heller, Alex; Swan, Richard (1964), "El grupo Whitehead de una extensión polinomial" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 22 : 61–79, MR 0174605
- Cohen, M. Un curso de teoría de homotopía simple Texto de posgrado en matemáticas 10, Springer, 1973
- Higman, Graham (1940), "Las unidades de anillos de grupo", Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 46 : 231–248, doi : 10.1112 / plms / s2-46.1.231 , MR 0002137
- Kirby, Robion ; Siebenmann, Laurent (1977), Ensayos fundamentales sobre variedades topológicas, suavizados y triangulaciones , Annals of Mathematics Studies, 88 , Princeton University Press Princeton, Nueva Jersey; Prensa de la Universidad de Tokio , Tokio
- Milnor, John (1966), "Whitehead torsion", Bulletin of the American Mathematical Society , 72 : 358–426, doi : 10.1090 / S0002-9904-1966-11484-2 , MR 0196736
- Smale, Stephen (1962), "Sobre la estructura de las variedades", American Journal of Mathematics , 84 : 387–399, doi : 10.2307 / 2372978 , MR 0153022
- Whitehead, JHC (1950), "Tipos de homotopía simple", American Journal of Mathematics , 72 : 1–57, doi : 10.2307 / 2372133 , MR 0035437
enlaces externos
- Una descripción de la torsión de Whitehead se encuentra en la sección dos .