En el campo matemático de la probabilidad , la salchicha de Wiener es una vecindad de la traza de un movimiento browniano hasta un tiempo t , dado al tomar todos los puntos dentro de una distancia fija del movimiento browniano. Puede visualizarse como una salchicha de radio fijo cuya línea central es el movimiento browniano. La salchicha Wiener recibió el nombre de Norbert Wiener por MD Donsker y SR Srinivasa Varadhan ( 1975 ) debido a su relación con el proceso Wiener ; el nombre también es un juego de palabras con la salchicha de Viena , ya que "Wiener" en alemán significa "vienés".
La salchicha Wiener es una de las funciones no markovianas más simples del movimiento browniano. Sus aplicaciones incluyen fenómenos estocásticos , incluida la conducción de calor . Fue descrito por primera vez por Frank Spitzer ( 1964 ), y fue utilizado por Mark Kac y Joaquin Mazdak Luttinger ( 1973 , 1974 ) para explicar los resultados de un condensado de Bose-Einstein , con pruebas publicadas por MD Donsker y SR Srinivasa Varadhan ( 1975 ). .
Definiciones
La salchicha Wiener W δ ( t ) de radio δ y longitud t es la variable aleatoria con valores establecidos en los caminos brownianos b (en algún espacio euclidiano) definida por
- es el conjunto de puntos dentro de una distancia δ de algún punto b ( x ) de la trayectoria b con 0≤ x ≤ t .
Volumen de la salchicha Wiener
Se ha trabajado mucho sobre el comportamiento del volumen ( medida de Lebesgue ) | W δ ( t ) | de la salchicha Wiener a medida que se adelgaza (δ → 0); Al cambiar la escala, esto es esencialmente equivalente a estudiar el volumen a medida que la salchicha se alarga ( t → ∞).
Spitzer (1964) mostró que en 3 dimensiones el valor esperado del volumen de la salchicha es
En la dimensión d al menos 3 el volumen de la salchicha Wiener es asintótico a
como t tiende al infinito. En las dimensiones 1 y 2, esta fórmula se reemplaza por y respectivamente. Whitman (1964) , un estudiante de Spitzer, demostró resultados similares para generalizaciones de salchichas Wiener con secciones transversales dadas por conjuntos compactos más generales que bolas .
Referencias
- Donsker, MD ; Varadhan, SRS (1975), "Asymptotics for the Wiener sausage", Communications on Pure and Applied Mathematics , 28 (4): 525–565, doi : 10.1002 / cpa.3160280406
- Hollander, F. den (2001) [1994], "Salchicha Wiener" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Kac, M .; Luttinger, JM (1973), "Condensación de Bose-Einstein en presencia de impurezas", J. Math. Phys. , 14 (11): 1626–1628, Bibcode : 1973JMP .... 14.1626K , doi : 10.1063 / 1.1666234 , MR 0342114
- Kac, M .; Luttinger, JM (1974), "Condensación de Bose-Einstein en presencia de impurezas. II", J. Math. Phys. , 15 (2): 183–186, Bibcode : 1974JMP .... 15..183K , doi : 10.1063 / 1.1666617 , MR 0342115
- Simon, Barry (2005), Integración funcional y física cuántica , Providence, RI: AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-3582-3, MR 2105995 Especialmente el capítulo 22.
- Spitzer, F. (1964), "Capacidad electrostática, flujo de calor y movimiento browniano", Teoría de la probabilidad y campos relacionados , 3 (2): 110-121, doi : 10.1007 / BF00535970 , S2CID 198179345
- Spitzer, Frank (1976), Principios de caminatas al azar , Textos de posgrado en matemáticas , 34 , Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, p. 40, MR 0171290 (Reimpresión de la edición de 1964)
- Sznitman, Alain-Sol (1998), movimiento browniano, obstáculos y medios aleatorios , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-662-11281-6 , ISBN 3-540-64554-3, MR 1717054 Una monografía avanzada que cubre la salchicha Wiener.
- Whitman, Walter William (1964), Algunas leyes fuertes para los paseos al azar y el movimiento browniano , Tesis de doctorado, Cornell U.