Espacio de Hilbert amañado
En matemáticas , un espacio de Hilbert amañado ( triple de Gelfand , espacio de Hilbert anidado, espacio de Hilbert equipado ) es una construcción diseñada para vincular la distribución y los aspectos de integración cuadrada del análisis funcional . Dichos espacios se introdujeron para estudiar la teoría espectral en sentido amplio. [ vago ] Reúnen el ' estado ligado ' ( vector propio ) y el ' espectro continuo ', en un solo lugar.
en la línea real R , pero no es integrable al cuadrado para la medida habitual de Borel en R . Considerar adecuadamente esta función como una función propia requiere alguna forma de salirse de los límites estrictos de la teoría del espacio de Hilbert . Esto fue proporcionado por el aparato de distribuciones de Schwartz , y se desarrolló una teoría de función propia generalizada en los años posteriores a 1950.
El concepto de espacio amañado de Hilbert coloca esta idea en un marco analítico funcional abstracto. Formalmente, un espacio de Hilbert amañado consta de un espacio de Hilbert H , junto con un subespacio Φ que tiene una topología más fina , es decir, uno para el cual la inclusión natural
es continuo No es una pérdida asumir que Φ es denso en H para la norma de Hilbert. Consideramos la inclusión de espacios duales H * en Φ * . Este último, dual a Φ en su topología de 'función de prueba', se realiza como un espacio de distribuciones o funciones generalizadas de algún tipo, y los funcionales lineales en el subespacio Φ de tipo
Ahora aplicando el teorema de representación de Riesz podemos identificar H * con H . Por lo tanto, la definición de espacio de Hilbert amañado es en términos de un sándwich:
Los ejemplos más significativos son aquellos en los que Φ es un espacio nuclear ; este comentario es una expresión abstracta de la idea de que Φ consiste en funciones de prueba y Φ* de las distribuciones correspondientes . Además, los espacios de Sobolev dan un ejemplo simple : aquí (en el caso más simple de los espacios de Sobolev en )
