En teoría de la probabilidad y física matemática , una matriz aleatoria es una matriz -valued variable aleatoria , es decir, una matriz en la que algunos o todos los elementos son variables aleatorias. Muchas propiedades importantes de los sistemas físicos se pueden representar matemáticamente como problemas matriciales. Por ejemplo, la conductividad térmica de una red se puede calcular a partir de la matriz dinámica de las interacciones partícula-partícula dentro de la red.
Aplicaciones
Física
En física nuclear , Eugene Wigner introdujo matrices aleatorias para modelar los núcleos de átomos pesados. [1] Postuló que los espacios entre las líneas en el espectro de un núcleo de átomo pesado deberían parecerse a los espacios entre los valores propios de una matriz aleatoria, y deberían depender sólo de la clase de simetría de la evolución subyacente. [2] En la física del estado sólido , las matrices aleatorias modelan el comportamiento de grandes hamiltonianos desordenados en la aproximación de campo medio .
En el caos cuántico , la conjetura de Bohigas-Giannoni-Schmit (BGS) afirma que las estadísticas espectrales de los sistemas cuánticos cuyas contrapartes clásicas exhiben un comportamiento caótico se describen mediante la teoría de matrices aleatorias. [3]
En óptica cuántica , las transformaciones descritas por matrices unitarias aleatorias son cruciales para demostrar la ventaja de la computación cuántica sobre la clásica (ver, por ejemplo, el modelo de muestreo de bosones ). [4] Además, estas transformaciones unitarias aleatorias se pueden implementar directamente en un circuito óptico, asignando sus parámetros a los componentes del circuito óptico (es decir, divisores de haz y desfasadores). [5]
La teoría de matrices aleatorias también ha encontrado aplicaciones para el operador quiral de Dirac en cromodinámica cuántica , [6] gravedad cuántica en dos dimensiones, [7] física mesoscópica , [8] par de transferencia de espín , [9] el efecto Hall cuántico fraccional , [10 ] Localización de Anderson , [11] puntos cuánticos , [12] y superconductores [13]
Estadística matemática y análisis numérico
En estadística multivariante , John Wishart introdujo matrices aleatorias para el análisis estadístico de muestras grandes; [14] ver estimación de matrices de covarianza .
Se han demostrado resultados significativos que extienden las desigualdades escalares clásicas de Chernoff , Bernstein y Hoeffding a los valores propios más grandes de sumas finitas de matrices hermitianas aleatorias . [15] Los resultados del corolario se derivan de los valores singulares máximos de matrices rectangulares.
En el análisis numérico , se han utilizado matrices aleatorias desde el trabajo de John von Neumann y Herman Goldstine [16] para describir errores de cálculo en operaciones como la multiplicación de matrices . Consulte también [17] [18] para obtener resultados más recientes.
Teoría de los números
En teoría de números , la distribución de ceros de la función zeta de Riemann (y otras funciones L ) se modela mediante la distribución de valores propios de ciertas matrices aleatorias. [19] La conexión fue descubierta por primera vez por Hugh Montgomery y Freeman J. Dyson . Está conectado con la conjetura de Hilbert-Pólya .
Neurociencia teórica
En el campo de la neurociencia teórica, las matrices aleatorias se utilizan cada vez más para modelar la red de conexiones sinápticas entre neuronas en el cerebro. Se demostró que los modelos dinámicos de redes neuronales con matriz de conectividad aleatoria exhiben una transición de fase al caos [20] cuando la varianza de los pesos sinápticos cruza un valor crítico, en el límite del tamaño infinito del sistema. Relacionar las propiedades estadísticas del espectro de modelos matriciales aleatorios inspirados biológicamente con el comportamiento dinámico de redes neuronales conectadas aleatoriamente es un tema de investigación intensivo. [21] [22] [23] [24] [25]
Control optimo
En la teoría del control óptimo , la evolución de n variables de estado a lo largo del tiempo depende en cualquier momento de sus propios valores y de los valores de k variables de control. Con la evolución lineal, las matrices de coeficientes aparecen en la ecuación de estado (ecuación de evolución). En algunos problemas, los valores de los parámetros en estas matrices no se conocen con certeza, en cuyo caso hay matrices aleatorias en la ecuación de estado y el problema se conoce como control estocástico . [26] : cap. 13 [27] [28] Un resultado clave en el caso del control lineal-cuadrático con matrices estocásticas es que el principio de equivalencia de certeza no se aplica: mientras que en ausencia de incertidumbre del multiplicador (es decir, con solo incertidumbre aditiva), la política óptima con una función de pérdida cuadrática coincide con lo que se decidiría si se ignorara la incertidumbre, esto ya no se cumple en presencia de coeficientes aleatorios en la ecuación de estado.
Conjuntos gaussianos
Los conjuntos de matrices aleatorias más estudiados son los conjuntos gaussianos.
El conjunto unitario gaussiano GUE ( n ) se describe mediante la medida gaussiana con densidad
en el espacio de Matrices hermitianas . Aquíes una constante de normalización, elegida de modo que la integral de la densidad sea igual a uno. El término unitario se refiere al hecho de que la distribución es invariante bajo la conjugación unitaria. El conjunto unitario gaussiano modela a los hamiltonianos que carecen de simetría de inversión temporal.
El conjunto ortogonal gaussiano GOE ( n ) se describe mediante la medida gaussiana con densidad
en el espacio de n × n matrices simétricas reales H = ( H ij )n
yo , j = 1. Su distribución es invariante bajo conjugación ortogonal y modela hamiltonianos con simetría de inversión de tiempo.
El conjunto simpléctico gaussiano GSE ( n ) se describe mediante la medida gaussiana con densidad
en el espacio de n × n matrices cuaterniónicas hermitianas , por ejemplo, matrices cuadradas simétricas compuestas de cuaterniones , H = ( H ij )n
yo , j = 1. Su distribución es invariante bajo la conjugación del grupo simpléctico , y modela a los hamiltonianos con simetría de inversión de tiempo pero sin simetría rotacional.
Los conjuntos gaussianos GOE, GUE y GSE a menudo se indican por su índice de Dyson , β = 1 para GOE, β = 2 para GUE y β = 4 para GSE. Este índice cuenta el número de componentes reales por elemento de la matriz. Los conjuntos como se definen aquí tienen elementos de matriz Gaussian distribuida con una media ⟨ H ij ⟩ = 0, y dos puntos correlaciones dadas por
- ,
de donde todas las correlaciones superiores siguen el teorema de Isserlis .
La densidad de probabilidad conjunta para los valores propios λ 1 , λ 2 , ..., λ n de GUE / GOE / GSE viene dada por
donde Z β , n es una constante de normalización que se puede calcular explícitamente, ver integral de Selberg . En el caso de GUE ( β = 2), la fórmula (1) describe un proceso de punto determinante . Los valores propios se repelen ya que la densidad de probabilidad conjunta tiene un cero (deth orden) para valores propios coincidentes .
Para la distribución del valor propio más grande para las matrices GOE, GUE y Wishart de dimensiones finitas, ver. [29]
Distribución de espaciamientos a nivel
De la secuencia ordenada de valores propios , uno define los espacios normalizados , dónde es el espaciado medio. La distribución de probabilidad de los espaciamientos viene dada aproximadamente por,
para el conjunto ortogonal GOE ,
para el conjunto unitario GUE , y
para el conjunto simpléctico GSE .
Las constantes numéricas son tales que está normalizado:
y el espaciado medio es,
por .
Generalizaciones
Las matrices de Wigner son matrices hermitianas aleatorias tal que las entradas
por encima de la diagonal principal hay variables aleatorias independientes con media cero y segundos momentos idénticos.
Los conjuntos de matrices invariantes son matrices hermitianas aleatorias con densidad en el espacio de matrices hermitianas simétricas / hermitianas / cuaterniónicas reales, que tienen la formadonde la función V se llama potencial.
Los conjuntos gaussianos son los únicos casos especiales comunes de estas dos clases de matrices aleatorias.
Teoría espectral de matrices aleatorias
La teoría espectral de matrices aleatorias estudia la distribución de los valores propios a medida que el tamaño de la matriz llega al infinito.
Régimen global
En el régimen global , uno está interesado en la distribución de estadísticas lineales de la forma N f, H = n −1 tr f (H) .
Medida espectral empírica
La medida espectral empírica μ H de H se define por
Por lo general, el límite de es una medida determinista; este es un caso particular de autopromedio . La función de distribución acumulativa de la medida límite se denomina densidad integrada de estados y se denota N ( λ ). Si la densidad integrada de estados es diferenciable, su derivada se llama densidad de estados y se denota ρ ( λ ).
El límite de la medida espectral empírica para las matrices de Wigner fue descrito por Eugene Wigner ; ver distribución de semicírculo de Wigner y conjetura de Wigner . En lo que respecta a las matrices de covarianza muestral, Marčenko y Pastur desarrollaron una teoría. [30] [31]
El límite de la medida espectral empírica de los conjuntos de matrices invariantes se describe mediante una cierta ecuación integral que surge de la teoría del potencial . [32]
Fluctuaciones
Para la estadística lineal N f , H = n −1 ∑ f ( λ j ), uno también está interesado en las fluctuaciones sobre ∫ f ( λ ) dN ( λ ). Para muchas clases de matrices aleatorias, un teorema del límite central de la forma
es conocido, ver, [33] [34] etc.
Régimen local
En el régimen local , uno está interesado en los espacios entre valores propios y, más generalmente, en la distribución conjunta de valores propios en un intervalo de longitud de orden 1 / n . Se distingue entre estadísticas de volumen , pertenecientes a intervalos dentro del soporte de la medida espectral límite, y estadísticas de borde , pertenecientes a intervalos cerca del límite del soporte.
Estadísticas masivas
Formalmente, arreglar en el interior del soporte de. Entonces considere el proceso de puntos
dónde son los valores propios de la matriz aleatoria.
El proceso de puntos captura las propiedades estadísticas de los valores propios en las proximidades de . Para los conjuntos gaussianos , el límite dees conocida; [2] por lo tanto, para GUE es un proceso de punto determinante con el kernel
(el núcleo del seno ).
El principio de universalidad postula que el límite de como debe depender solo de la clase de simetría de la matriz aleatoria (y ni del modelo específico de matrices aleatorias ni de ). Esto se demostró rigurosamente para varios modelos de matrices aleatorias: para conjuntos de matrices invariantes, [35] [36] para matrices de Wigner, [37] [38] et cet.
Estadísticas de borde
Consulte la distribución de Tracy – Widom .
Funciones de correlación
La densidad de probabilidad conjunta de los valores propios de matrices hermitianas aleatorias , con funciones de partición de la forma
dónde
y es la medida estándar de Lebesgue en el espacio de Hermitian matrices, está dada por
La -Las funciones de correlación de puntos (o distribuciones marginales ) se definen como
que son funciones simétricas sesgadas de sus variables. En particular, la función de correlación de un punto, o densidad de estados , es
Es integral sobre un conjunto Borel da el número esperado de valores propios contenidos en :
El siguiente resultado expresa estas funciones de correlación como determinantes de las matrices formadas a partir de la evaluación del núcleo integral apropiado en los pares de puntos que aparecen dentro del correlacionador.
Teorema [Dyson-Mehta] Para cualquier, la -función de correlación de puntos se puede escribir como determinante
dónde es el el núcleo de Christoffel-Darboux
asociado a , escrito en términos de los cuasipolinomios
dónde es una secuencia completa de polinomios mónicos, de los grados indicados, que satisfacen las condiciones de ortogonalidad
Otras clases de matrices aleatorias
Matrices de Wishart
Las matrices de Wishart son n × n matrices aleatorias de la forma H = X X * , donde X es una n × m matriz aleatoria ( m ≥ n ) con entradas independientes, y X * es su transpuesta conjugada . En el importante caso especial considerado por Wishart, las entradas de X son variables aleatorias gaussianas distribuidas de manera idéntica (reales o complejas).
El límite de la medida espectral empírica de las matrices de Wishart fue encontrado [30] por Vladimir Marchenko y Leonid Pastur , ver distribución de Marchenko-Pastur .
Matrices unitarias aleatorias
- Ver conjuntos circulares .
Matrices aleatorias no hermitianas
- Ver ley circular .
Guía de referencias
- Libros sobre teoría de matrices aleatorias: [2] [39] [40]
- Artículos de encuestas sobre la teoría de matrices aleatorias: [17] [31] [41] [42] [43]
- Obras históricas: [1] [14] [16]
Referencias
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