En matemáticas , el teorema de Wilkie es un resultado de Alex Wilkie sobre la teoría de campos ordenados con una función exponencial o, de manera equivalente, sobre la naturaleza geométrica de las variedades exponenciales.
Formulaciones
En términos de teoría de modelos , el teorema de Wilkie trata con el lenguaje L exp = (+, -, ·, <, 0, 1, e x ), el lenguaje de anillos ordenados con una función exponencial e x . Suponga que φ ( x 1 , ..., x m ) es una fórmula en este idioma. Entonces teorema de Wilkie que hay un número entero n ≥ m y polinomios f 1 , ..., f r ∈ Z [ x 1 , ..., x n , e x 1 , ..., e x n ] de tal manera que φ ( x 1 , ..., x m ) es equivalente a la fórmula existencial
Por lo tanto, aunque esta teoría no tiene una eliminación total del cuantificador , las fórmulas se pueden poner en una forma particularmente simple. Este resultado prueba que la teoría de la estructura R exp , que es el campo ordenado real con la función exponencial , es modelo completo . [1]
En términos de geometría analítica , el teorema establece que cualquier conjunto definible en el lenguaje anterior, en particular el complemento de una variedad exponencial, es de hecho una proyección de una variedad exponencial. Una variedad exponencial sobre un campo K es el conjunto de puntos en K n donde una colección finita de polinomios exponenciales desaparece simultáneamente. El teorema de Wilkie establece que si tenemos cualquier conjunto definible en una estructura L exp K = ( K , +, -, ·, 0, 1, e x ), digamos X ⊂ K m , entonces habrá una variedad exponencial en algunos dimensión K n de tal manera que la proyección de este hacia abajo variedad sobre K m será precisamente X .
Teorema de Gabrielov
El resultado puede considerarse como una variación del teorema de Gabrielov. Este teorema anterior de Andrei Gabrielov trataba sobre conjuntos subanalíticos , o el lenguaje L an de anillos ordenados con un símbolo de función para cada función analítica propia en R m restringida al cubo unitario cerrado [0, 1] m . El teorema de Gabrielov establece que cualquier fórmula en este lenguaje es equivalente a una existencial, como se indicó anteriormente. [2] Por tanto, la teoría del campo ordenado real con funciones analíticas restringidas es modelo completo.
Resultados intermedios
El teorema de Gabrielov se aplica al campo real con todas las funciones analíticas restringidas adjuntas, mientras que el teorema de Wilkie elimina la necesidad de restringir la función, pero solo permite agregar la función exponencial. Como resultado intermedio, Wilkie preguntó cuándo podría definirse el complemento de un conjunto subanalítico utilizando las mismas funciones analíticas que describían el conjunto original. Resulta que las funciones requeridas son las funciones de Pfaffian . [1] En particular, la teoría del campo ordenado real con funciones de Pfaffian restringidas y totalmente definidas es modelo completo. [3] El enfoque de Wilkie para este último resultado es algo diferente de su demostración del teorema de Wilkie, y el resultado que le permitió demostrar que la estructura de Pfaffian es modelo completo se conoce a veces como teorema del complemento de Wilkie. Ver también. [4]
Referencias
- ^ a b A.J. Wilkie, Resultados de completitud del modelo para expansiones del campo ordenado de números reales mediante funciones pfaffianas restringidas y funciones exponenciales , J. Amer. Matemáticas. Soc. 9 (1996), págs. 1051-1094.
- ^ A. Gabrielov, Proyecciones de conjuntos semi-analíticos , Anal funcional. Apl. 2 (1968), págs. 282-291.
- ^ AJ Wilkie, Un teorema del complemento y algunas nuevas estructuras o-mínimas , Sel. Matemáticas. 5 (1999), págs. 397–421.
- ^ M. Karpinski y A. Macintyre, Una generalización del teorema del complemento de Wilkie y una aplicación al cierre de Pfaffian , Sel. matemáticas., Nuevo ser. 5 (1999), págs. 507-516