En la teoría de modelos , una teoría de primer orden se llama modelo completo si cada incrustación de sus modelos es una incrustación elemental . De manera equivalente, toda fórmula de primer orden equivale a una fórmula universal. Esta noción fue introducida por Abraham Robinson .
Modelo complementario y finalización del modelo
Un compañero de una teoría T es una teoría T * tal que cada modelo de T puede integrarse en un modelo de T * y viceversa.
Un compañero modelo de una teoría T es un compañero de T que es modelo completo. Robinson demostró que una teoría tiene como máximo un compañero modelo. No todas las teorías son compatibles con el modelo, por ejemplo, la teoría de grupos. Sin embargo, si es un - teoría categórica , entonces siempre tiene un compañero modelo. [1] [2]
Una terminación de modelo para una teoría T es una compañera de modelo T * tal que para cualquier modelo M de T , la teoría de T * junto con el diagrama de M está completa. En términos generales, esto significa que cada modelo de T se puede incrustar en un modelo de T * de una manera única.
Si T * es un compañero modelo de T, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: [3]
- T * es un modelo de finalización de T
- T tiene la propiedad de fusión .
Si T también tiene axiomatización universal, ambos de los anteriores también son equivalentes a:
- T * tiene eliminación de cuantificadores
Ejemplos de
- Cualquier teoría con eliminación de cuantificadores es modelo completo.
- La teoría de campos algebraicamente cerrados es el modelo de finalización de la teoría de campos. Es modelo completo pero no completo.
- La finalización del modelo de la teoría de las relaciones de equivalencia es la teoría de las relaciones de equivalencia con un número infinito de clases de equivalencia, cada una de las cuales contiene un número infinito de elementos.
- La teoría de los campos cerrados reales , en el lenguaje de los anillos ordenados , es un modelo que completa la teoría de los campos ordenados (o incluso dominios ordenados ).
- La teoría de los campos cerrados reales, en el lenguaje de los anillos , es el compañero modelo de la teoría de los campos formalmente reales , pero no es un modelo completo.
No ejemplos
- La teoría de los órdenes lineales densos con un primer y último elemento está completa pero no el modelo completo.
- La teoría de grupos (en un lenguaje con símbolos de identidad, producto e inversos) tiene la propiedad de amalgama, pero no tiene un compañero modelo.
Condición suficiente para la integridad de las teorías de modelo completo
Si T es una teoría del modelo completo y hay un modelo de T que se integra en cualquier modelo de T , entonces T está completo. [4]
Notas
- ^ D. Saracino. Compañeros modelo para ℵ 0 - Teorías categóricas . Actas de la American Mathematical Society Vol. 39, núm. 3 (agosto de 1973), págs. 591–598
- ^ H. Simmons. Estructuras grandes y pequeñas existencialmente cerradas . J. Symb. Tronco. 41 (2): 379–390 (1976)
- ^ Chang, CC; Keisler, H. Jerome (2012). Model Theory (Tercera edición ed.). Publicaciones de Dover. pp. 672 páginas.
- ^ Marcador de David (2002). Teoría de modelos: una introducción . Springer-Verlag Nueva York.
Referencias
- Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Theory , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (3a ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-88054-3
- Hirschfeld, Joram; Wheeler, William H. (1975), "Model-completions and model-companions", Forcing, Arithmetic, Division Rings , Lecture Notes in Mathematics, 454 , Springer, págs. 44–54, doi : 10.1007 / BFb0064085 , ISBN 978-3-540-07157-0, MR 0389581