En matemáticas , las funciones de Pfaffian son una cierta clase de funciones cuya derivada se puede escribir en términos de la función original. Fueron introducidos originalmente por Askold Khovanskii en la década de 1970, pero llevan el nombre del matemático alemán Johann Pfaff .
Definición básica
Algunas funciones, cuando se diferencian, dan un resultado que se puede escribir en términos de la función original. Quizás el ejemplo más simple sea la función exponencial , f ( x ) = e x . Si diferenciamos esta función obtenemos e x nuevamente, es decir
Otro ejemplo de una función como esta es la función recíproca, g ( x ) = 1 / x . Si diferenciamos esta función veremos que
Es posible que otras funciones no tengan la propiedad anterior, pero su derivada puede escribirse en términos de funciones como las anteriores. Por ejemplo, si tomamos la función h ( x ) = e x log ( x ) entonces vemos
Funciones como estas forman los eslabones de la denominada cadena de Pfaffian . Tal cadena es una secuencia de funciones, digamos f 1 , f 2 , f 3 , etc., con la propiedad de que si diferenciamos cualquiera de las funciones en esta cadena, entonces el resultado se puede escribir en términos de la función en sí y todos las funciones que lo preceden en la cadena (específicamente como un polinomio en esas funciones y las variables involucradas). Entonces, con las funciones anteriores tenemos que f , g , h es una cadena de Pfaffian.
Una función de Pfaffian es entonces solo un polinomio en las funciones que aparecen en una cadena de Pfaffian y el argumento de la función. Entonces, con la cadena de Pfaffian que se acaba de mencionar, funciones como F ( x ) = x 3 f ( x ) 2 - 2 g ( x ) h ( x ) son Pfaffian.
Definición rigurosa
Sea U un dominio abierto en R n . Una cadena de Pfaffian de orden r ≥ 0 y grado α ≥ 1 en U es una secuencia de funciones analíticas reales f 1 ,…, f r en U que satisface ecuaciones diferenciales
para i = 1,…, r donde P i , j ∈ R [ x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y i ] son polinomios de grado ≤ α . Una función f en U se llama función Pfaffiana de orden r y grado ( α , β ) si
donde P ∈ R [ x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y r ] es un polinomio de grado como máximo β ≥ 1. Los números r , α y β se conocen colectivamente como el formato de la función de Pfaffian y dar una medida útil de su complejidad.
Ejemplos de
- Los ejemplos más triviales de funciones de Pfaffian son los polinomios en R [ X ]. Tal función será un polinomio en una cadena de Pfaffian de orden r = 0, que es la cadena sin funciones. Tal función tendrá α = 0 y β igual al grado del polinomio.
- Quizás la función de Pfaffian no trivial más simple es f ( x ) = e x . Este es Pfaffian con orden r = 1 y α = β = 1 debido a la ecuación f ′ = f .
- Inductivamente, se puede definir f 1 ( x ) = exp ( x ) y f m +1 ( x ) = exp ( f m ( x )) para 1 ≤ m < r . Entonces f m ′ = f 1 f 2 ··· f m . Entonces esta es una cadena de Pfaffian de orden r y grado α = r .
- Todas las funciones algebraicas son Pfaffian en dominios adecuados, al igual que las funciones hiperbólicas . Las funciones trigonométricas en intervalos acotados son de Pfaffian, pero deben formarse indirectamente. Por ejemplo, la función cos ( x ) es un polinomio en la cadena de Pfaffian tan ( x / 2), cos 2 ( x / 2) en el intervalo (−π, π).
- De hecho, todas las funciones elementales y funciones de Liouvillian son Pfaffian. [1]
En teoría de modelos
Considere la estructura R = ( R , +, -, ·, <, 0, 1), el campo ordenado de números reales. En la década de 1960, Andrei Gabrielov demostró que la estructura obtenida al comenzar con R y agregar un símbolo de función para cada función analítica restringida a la caja unitaria [0, 1] m es modelo completo . [2] Es decir, cualquier conjunto definible en esta estructura R un fue sólo la proyección de un conjunto de más dimensiones definido por las identidades y desigualdades de estas funciones analíticas restringidas.
En la década de 1990, Alex Wilkie demostró que se obtiene el mismo resultado si en lugar de sumar todas las funciones analíticas, simplemente se agrega la función exponencial a R para obtener el campo real ordenado con exponenciación, R exp , un resultado conocido como teorema de Wilkie . [3] Wilkie luego abordó la cuestión de qué conjuntos finitos de funciones podrían agregarse a R para obtener este resultado. Resultó que agregar cualquier cadena de Pfaffian restringida al cuadro [0, 1] m daría el mismo resultado. En particular, se pueden agregar todas las funciones de Pfaffian a R para obtener la estructura R Pfaff como un resultado intermedio entre el resultado de Gabrielov y el teorema de Wilkie . Dado que la función exponencial es una cadena de Pfaffian por sí misma, el resultado de la exponenciación puede verse como un caso especial de este último resultado. [4]
Este resultado de Wilkie demostró que la estructura R Pfaff es una estructura mínima .
Funciones noetherianas
Se dice que las ecuaciones anteriores que definen una cadena de Pfaffian satisfacen una condición triangular, ya que la derivada de cada función sucesiva en la cadena es un polinomio en una variable adicional. Así, si se escriben a su vez, aparece una forma triangular:
y así. Si esta condición de triangularidad se relaja de modo que la derivada de cada función en la cadena sea un polinomio en todas las demás funciones en la cadena, entonces la cadena de funciones se conoce como una cadena noetheriana y una función construida como un polinomio en esta cadena. se llama función noetheriana . [5] Entonces, por ejemplo, una cadena noetheriana de orden tres se compone de tres funciones f 1 , f 2 , f 3 , que satisfacen las ecuaciones
El nombre proviene del hecho de que el anillo generado por las funciones en dicha cadena es Noetheriano . [6]
Cualquier cadena de Pfaffian es también una cadena de Noetherian; las variables adicionales en cada polinomio son simplemente redundantes en este caso. Pero no todas las cadenas de Noetherian son Pfaffian; por ejemplo, si tomamos f 1 ( x ) = sin ( x ) y f 2 ( x ) = cos ( x ) entonces tenemos las ecuaciones
y estos asimiento para todos los números reales x , por lo que f 1 , f 2 es una cadena Noetherian sobre todas las R . Pero no existe un polinomio P ( x , y ) tal que la derivada de sin ( x ) pueda escribirse como P ( x , sin ( x )), por lo que esta cadena no es Pfaffian.
Notas
- ^ Las funciones de Liouville son esencialmente todas las funciones analíticas reales que se pueden obtener de las funciones elementales aplicando las operaciones aritméticas habituales, exponenciación e integración. No están relacionados con la función de Liouville en la teoría de números.
- ^ A. Gabrielov, "Proyecciones de conjuntos semi-analíticos", Anal funcional. Apl. 2 (1968), págs. 282-291.
- ^ AJ Wilkie, "Resultados de completitud del modelo para expansiones del campo ordenado de números reales por funciones restringidas de Pfaffian y las funciones exponenciales", J. Amer. Matemáticas. Soc. 9 (1996), págs. 1051-1094.
- ^ El teorema de Wilkie es en realidad más fuerte que este caso especial. El caso especial aún requeriría que la función exponencial se restrinja al intervalo cerrado [0,1]. Wilkie demostró que esto es innecesario en el caso de la función exponencial, y uno puede definir como de costumbre en todas R .
- ↑ Andrei Gabrielov, Nicolai Vorobjov (2004). "Complejidad de cálculos con funciones de Pfaffian y Noetherian". En Yulij Ilyashenko, Christiane Rousseau (ed.). Formas normales, bifurcaciones y problemas de finitud en ecuaciones diferenciales . Editores académicos de Kluwer. ISBN 1-4020-1928-9.
- ^ JC Tougeron, "Algèbres analytiques topologiquement nœthériennes, Théorie de Hovanskii", Annales de l'Institut Fourier 41 (1991), págs. 823-840.
Referencias
- Khovanskii, AG (1991). Fewnomios . Traducciones de monografías matemáticas. 88 . Traducido del ruso por Smilka Zdravkovska. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-4547-0. Zbl 0728.12002 .