Sir William Vallance Douglas Hodge FRS FRSE [2] ( / h ɒ dʒ / ; 17 de junio de 1903 - 7 de julio de 1975) fue un matemático británico , específicamente un geómetra . [3] [4]
señor WVD Hodge FRS FRSE | |
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Nació | Edimburgo , Reino Unido | 17 de junio de 1903
Fallecido | 7 de julio de 1975 Cambridge , Reino Unido | (72 años)
Nacionalidad | británico |
Educación | Universidad de George Watson |
alma mater | Universidad de Edimburgo St John's College, Cambridge [1] |
Conocido por | Conjetura de Hodge Hodge dual Hodge bundle teoría de Hodge |
Premios | Premio Adams (1936) Premio Senior Berwick (1952) Medalla Real (1957) Medalla De Morgan (1959) Medalla Copley (1974) |
Carrera científica | |
Campos | Matemáticas |
Instituciones | Pembroke College, Cambridge |
Asesores académicos | ET Whittaker |
Estudiantes de doctorado | Michael Atiyah Ian R. Porteous David J. Simms |
Su descubrimiento de las relaciones topológicas de largo alcance entre la geometría algebraica y la geometría diferencial —un área que ahora se llama teoría de Hodge y que pertenece de manera más general a las variedades de Kähler— ha tenido una gran influencia en el trabajo posterior en geometría.
Vida y carrera
Nació en Edimburgo en 1903, hijo de Archibald James Hodge, buscador de registros públicos, y su esposa, Jane Vallance. [5] Vivían en 1 Church Hill Place en el distrito de Morningside . [6]
Asistió a la Universidad de George Watson y estudió en la Universidad de Edimburgo , donde se graduó con una maestría en 1923. Con la ayuda de ET Whittaker , cuyo hijo JM Whittaker era un amigo de la universidad, tomó el Cambridge Mathematical Tripos . En Cambridge cayó bajo la influencia del geómetra HF Baker . Obtuvo una segunda maestría en 1925.
En 1926 ocupó un puesto de profesor en la Universidad de Bristol y comenzó a trabajar en la interfaz entre la escuela italiana de geometría algebraica , en particular los problemas planteados por Francesco Severi , y los métodos topológicos de Solomon Lefschetz . Esto hizo su reputación, pero provocó cierto escepticismo inicial por parte de Lefschetz. Según las memorias de Atiyah , Lefschetz y Hodge en 1931 se reunieron en las habitaciones de Max Newman en Cambridge para tratar de resolver los problemas. Al final, Lefschetz quedó convencido. [2] En 1928 fue elegido miembro de la Royal Society of Edinburgh . Sus proponentes fueron Sir Edmund Taylor Whittaker , Ralph Allan Sampson , Charles Glover Barkla y Sir Charles Galton Darwin . Fue galardonado con el premio Gunning Victoria Jubilee de la Sociedad por el período 1964 a 1968. [7]
En 1930, Hodge recibió una beca de investigación en St. John's College, Cambridge . Pasó el año 1931-2 en la Universidad de Princeton , donde estaba Lefschetz, y visitó también a Oscar Zariski en la Universidad Johns Hopkins . En este momento también estaba asimilando el teorema de De Rham y definiendo la operación estelar de Hodge . Le permitiría definir formas armónicas y así refinar la teoría de De Rham.
A su regreso a Cambridge, se le ofreció un puesto de profesor universitario en 1933. Se convirtió en profesor de Astronomía y Geometría de Lowndean en Cambridge , puesto que ocupó de 1936 a 1970. Fue el primer director de DPMMS .
Fue el maestro de Pembroke College, Cambridge de 1958 a 1970, y vicepresidente de la Royal Society de 1959 a 1965. Fue nombrado caballero en 1959. Entre otros honores, recibió el premio Adams en 1937 y la medalla Copley de la Royal Society en 1974.
Murió en Cambridge el 7 de julio de 1975.
Trabaja
El teorema del índice de Hodge fue un resultado de la teoría de números de intersección para curvas en una superficie algebraica : determina la firma de la forma cuadrática correspondiente . Este resultado fue buscado por la escuela italiana de geometría algebraica , pero fue probado por los métodos topológicos de Lefschetz .
La teoría y aplicaciones de las integrales armónicas [8] resumió el desarrollo de Hodge durante la década de 1930 de su teoría general. Esto comienza con la existencia de cualquier métrica de Kähler de una teoría de laplacianos : se aplica a una variedad algebraica V (asumida como compleja , proyectiva y no singular ) porque el propio espacio proyectivo lleva esa métrica. En de cohomología Rham términos, una clase cohomology de grado k está representado por una k -form α en V ( C ). No hay un representante único; pero al introducir la idea de forma armónica (Hodge todavía las llamó 'integrales'), que son soluciones de la ecuación de Laplace , se puede obtener un α único . Esto tiene la consecuencia importante e inmediata de dividirse
- H k ( V ( C ), C )
en subespacios
- H p , q
de acuerdo con el número p de diferenciales holomórficos dz i encajados para formar α (el espacio cotangente está atravesado por dz i y sus conjugados complejos). Las dimensiones de los subespacios son los números de Hodge .
Esta descomposición de Hodge se ha convertido en una herramienta fundamental. Las dimensiones h p , q no solo refinan los números de Betti , al dividirlos en partes con un significado geométrico identificable; pero la descomposición en sí, como una "bandera" variable en un espacio vectorial complejo, tiene un significado en relación con los problemas de módulos . En términos generales, la teoría de Hodge contribuye tanto a la clasificación discreta como a la continua de las variedades algebraicas.
Los desarrollos posteriores de otros llevaron en particular a una idea de estructura mixta de Hodge en variedades singulares, y a profundas analogías con la cohomología étale .
Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge sobre los espacios "medios" H p , p todavía no está resuelta, en general. Es uno de los siete problemas del premio Millennium establecidos por el Clay Mathematics Institute .
Exposición
Hodge también escribió, con Daniel Pedoe , una obra de tres volúmenes Methods of Algebraic Geometry , sobre geometría algebraica clásica, con mucho contenido concreto, ilustrando lo que Élie Cartan llamó 'el libertinaje de los índices' en su notación de componentes. Según Atiyah , esto tenía la intención de actualizar y reemplazar los Principios de Geometría de HF Baker .
Familia
En 1929 se casó con Kathleen Anne Cameron. [9]
Publicaciones
- Hodge, WVD (1941), La teoría y aplicaciones de las integrales armónicas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-35881-1, MR 0003947
- Hodge, WVD; Pedoe, D. (1994) [1947], Métodos de geometría algebraica, Volumen I (Libro II) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46900-5[10]
- Hodge, WVD; Pedoe, Daniel (1994) [1952], Métodos de geometría algebraica: Volumen 2 Libro III: Teoría general de las variedades algebraicas en el espacio proyectivo. Libro IV: Variedades Quadrics y Grassmann. , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46901-2, MR 0048065[11]
- Hodge, WVD; Pedoe, Daniel (1994) [1954], Métodos de geometría algebraica: Volumen 3 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-46775-9[12]
Ver también
- Lista de cosas que llevan el nombre de WVD Hodge
Referencias
- ^ Biografía de Hodge - Universidad de St Andrews
- ^ a b Atiyah, MF (1976). "William Vallance Douglas Hodge. 17 de junio de 1903 - 7 de julio de 1975". Memorias biográficas de miembros de la Royal Society . 22 : 169-192. doi : 10.1098 / rsbm.1976.0007 . S2CID 72054846 .
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "WVD Hodge" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ WVD Hodge en el Proyecto de genealogía de las matemáticas
- ^ Índice biográfico de ex miembros de la Royal Society of Edinburgh 1783-2002 (PDF) . La Royal Society de Edimburgo. Julio de 2006. ISBN 0-902-198-84-X.
- ^ Directorio de oficinas de correos de Edimburgo y Leith 1903-4
- ^ Índice biográfico de ex miembros de la Royal Society of Edinburgh 1783-2002 (PDF) . La Royal Society de Edimburgo. Julio de 2006. ISBN 0-902-198-84-X.
- ^ Struik, DJ (1944). "Revisión: WVD Hodge, la teoría y aplicaciones de integrales armónicas " . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 50 (1): 43–45. doi : 10.1090 / s0002-9904-1944-08054-3 .
- ^ Índice biográfico de ex miembros de la Royal Society of Edinburgh 1783-2002 (PDF) . La Royal Society de Edimburgo. Julio de 2006. ISBN 0-902-198-84-X.
- ^ Coxeter, HSM (1949). "Revisión: métodos de geometría algebraica . Por WVD Hodge y D. Pedoe" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 55 (3, Parte 1): 315–316. doi : 10.1090 / s0002-9904-1949-09193-0 .
- ^ Coxeter, HSM (1952). "Revisión: métodos de geometría algebraica. Vol. 2. Por WVD Hodge y D. Pedoe" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 58 (6): 678–679. doi : 10.1090 / s0002-9904-1952-09661-0 .
- ^ Samuel, P. (1955). "Revisión: Métodos de geometría algebraica . Vol. III. Geometría biracional . Por WVD Hodge y D. Pedoe" (PDF) . Toro. Amer. Matemáticas. Soc . 61 (3, Parte 1): 254–257. doi : 10.1090 / s0002-9904-1955-09910-5 .
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Precedido por Sydney Castle Roberts | Maestría en Pembroke College, Cambridge 1958-1970 | Sucedido por W. A. Camps |