Teoría del tornillo

Formulación matemática de pares de vectores utilizados en física (dinámica de cuerpos rígidos)

Sir Robert Ball, autor de tratados sobre teoría de tornillos en 1876 y 1900.

La teoría de tornillos es el cálculo algebraico de pares de vectores , como fuerzas y momentos o velocidad angular y lineal , que surgen en la cinemática y dinámica de cuerpos rígidos . ^{[1] [2]} El marco matemático fue desarrollado por Sir Robert Stawell Ball en 1876 para su aplicación en cinemática y estática de mecanismos (mecánica de cuerpos rígidos). ^[3]

La teoría de los tornillos proporciona una formulación matemática para la geometría de las líneas que es fundamental para la dinámica de los cuerpos rígidos , donde las líneas forman los ejes de los tornillos del movimiento espacial y las líneas de acción de las fuerzas. El par de vectores que forman las coordenadas de Plücker de una línea definen un tornillo unitario, y los tornillos generales se obtienen multiplicando por un par de números reales y sumando vectores . ^[3]

Un resultado importante de la teoría de los tornillos es que los cálculos geométricos para puntos que utilizan vectores tienen cálculos geométricos paralelos para líneas que se obtienen reemplazando vectores por tornillos. Esto se denomina principio de transferencia. ^[4]

La teoría de los tornillos se ha convertido en una herramienta importante en la mecánica de robots, ^{[5] [6]} diseño mecánico, geometría computacional y dinámica multicuerpo . Esto se debe en parte a la relación entre tornillos y cuaterniones duales que se han utilizado para interpolar movimientos de cuerpos rígidos . ^[7] Basado en la teoría del tornillo, también se ha desarrollado un enfoque eficiente para el tipo de síntesis de mecanismos paralelos (manipuladores paralelos o robots paralelos). ^[8]

Los teoremas fundamentales incluyen el teorema de Poinsot ( Louis Poinsot , 1806) y el teorema de Chasles ( Michel Chasles , 1832). Felix Klein vio la teoría de los tornillos como una aplicación de la geometría elíptica y su Programa Erlangen . ^[9] También desarrolló geometría elíptica y una nueva visión de la geometría euclidiana, con la métrica de Cayley-Klein . Harvey Lipkin describió el uso de una matriz simétrica para una cónica y métrica de von Staudt , aplicada a tornillos. ^[10] Otros contribuyentes destacados incluyen a Julius Plücker ,WK Clifford , FM Dimentberg , Kenneth H. Hunt , JR Phillips. ^[11]

Conceptos básicos

El paso de un tornillo puro relaciona la rotación alrededor de un eje con la traslación a lo largo de ese eje.

Un desplazamiento espacial de un cuerpo rígido se puede definir mediante una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de la misma línea, denominada desplazamiento de tornillo. Esto se conoce como teorema de Chasles . Los seis parámetros que definen el desplazamiento de un tornillo son los cuatro componentes independientes del vector Plücker que define el eje del tornillo, junto con el ángulo de rotación alrededor y el deslizamiento lineal a lo largo de esta línea, y forman un par de vectores llamados tornillo . A modo de comparación, los seis parámetros que definen un desplazamiento espacial también pueden estar dados por tres ángulos de Euler que definen la rotación y los tres componentes del vector de traslación.

Tornillo

Un tornillo es un vector de seis dimensiones construido a partir de un par de vectores tridimensionales, como fuerzas y momentos de torsión y velocidad lineal y angular, que surgen en el estudio del movimiento espacial de cuerpos rígidos. Los componentes del tornillo definen las coordenadas de Plücker de una línea en el espacio y las magnitudes del vector a lo largo de la línea y el momento alrededor de esta línea.

Llave inglesa

Los vectores de fuerza y ​​torsión que surgen al aplicar las leyes de Newton a un cuerpo rígido se pueden ensamblar en un tornillo llamado llave . Una fuerza tiene un punto de aplicación y una línea de acción, por lo tanto, define las coordenadas de Plücker de una línea en el espacio y tiene paso cero. Un par, por otro lado, es un momento puro que no está ligado a una línea en el espacio y es un tornillo de paso infinito. La relación de estas dos magnitudes define el paso del tornillo.

Giro

Un giro representa la velocidad de un cuerpo rígido como una velocidad angular alrededor de un eje y una velocidad lineal a lo largo de este eje. Todos los puntos del cuerpo tienen la misma componente de velocidad a lo largo del eje, sin embargo, cuanto mayor es la distancia desde el eje, mayor es la velocidad en el plano perpendicular a este eje. Por tanto, el campo helicoidal formado por los vectores de velocidad en un cuerpo rígido en movimiento se aplana cuanto más lejos están los puntos radialmente del eje de torsión.

Los puntos de un cuerpo que experimentan un movimiento de tornillo constante trazan hélices en el marco fijo. Si este movimiento de tornillo tiene paso cero, entonces las trayectorias trazan círculos y el movimiento es una rotación pura. Si el movimiento del tornillo tiene un paso infinito, entonces las trayectorias son todas líneas rectas en la misma dirección.

Álgebra de tornillos

Sea un tornillo un par ordenado

${\displaystyle {\mathsf {S}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} ),}$

donde S y V son vectores reales tridimensionales. La suma y la diferencia de estos pares ordenados se calculan por componentes. Los tornillos a menudo se denominan vectores duales .

Ahora, introduzca el par ordenado de números reales â = ( a ,  b ) llamado escalar dual . Sea la suma y resta de estos números por componentes y defina la multiplicación como

${\displaystyle {\hat {a}}{\hat {c}}=(a,b)(c,d)=(ac,ad+bc).\!}$

La multiplicación de un tornillo S  = ( S ,  V ) por el escalar dual â = ( a ,  b ) se calcula en componentes para ser,

${\displaystyle {\hat {a}}{\mathsf {S}}=(a,b)(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=(a\mathbf {S} ,a\mathbf {V} +b\mathbf {S} ).\!}$

Finalmente, introduzca los productos punto y cruzado de los tornillos mediante las fórmulas:

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\cdot (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \cdot \mathbf {W} +\mathbf {V} \cdot \mathbf {T} ),}$

que es un escalar dual, y

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=(\mathbf {S} ,\mathbf {V} )\times (\mathbf {T} ,\mathbf {W} )=(\mathbf {S} \times \mathbf {T} ,\,\,\mathbf {S} \times \mathbf {W} +\mathbf {V} \times \mathbf {T} ).}$

que es un tornillo. Los productos de puntos y cruces de los tornillos satisfacen las identidades del álgebra de vectores y permiten cálculos que directamente son paralelos a los cálculos en el álgebra de vectores.

Deje que el escalar dual ẑ = ( φ ,  d ) defina un ángulo dual , entonces las definiciones de series infinitas de seno y coseno producen las relaciones

${\displaystyle \sin {\hat {z}}=(\sin \varphi ,d\cos \varphi ),\,\,\,\cos {\hat {z}}=(\cos \varphi ,-d\sin \varphi ),\!}$

que también son escalares duales. En general, la función de una variable dual se define como f (ẑ) = ( f ( φ ),  df ′ ( φ )), donde f ′ ( φ ) es la derivada de  f ( φ ).

Estas definiciones permiten los siguientes resultados:

• Los tornillos unitarios son coordenadas de Plücker de una línea y satisfacen la relación

${\displaystyle |{\mathsf {S}}|={\sqrt {{\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {S}}}}=1;}$

• Sea ẑ = ( φ ,  d ) el ángulo dual, donde φ es el ángulo entre los ejes de S y T alrededor de su normal común, yd es la distancia entre estos ejes a lo largo de la normal común, entonces

${\displaystyle {\mathsf {S}}\cdot {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\cos {\hat {z}};}$

• Sea N el tornillo unitario que define la normal común a los ejes de S y T , y ẑ = ( φ ,  d ) es el ángulo dual entre estos ejes, entonces

${\displaystyle {\mathsf {S}}\times {\mathsf {T}}=|{\mathsf {S}}||{\mathsf {T}}|\sin {\hat {z}}{\mathsf {N}}.}$

Llave inglesa

Un ejemplo común de tornillo es la llave asociada con una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido. Sea P el punto de aplicación de la fuerza F y sea P el vector que ubica este punto en un marco fijo. La llave W = ( F , P × F ) es un tornillo. La fuerza y ​​el momento resultantes obtenidos de todas las fuerzas F _i , i  = 1, ..., n , que actúan sobre un cuerpo rígido es simplemente la suma de las llaves individuales W _i , es decir

${\displaystyle {\mathsf {R}}=\sum _{i=1}^{n}{\mathsf {W}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {F} _{i},\mathbf {P} _{i}\times \mathbf {F} _{i}).}$

Observe que el caso de dos fuerzas iguales pero opuestas F y - F que actúan en los puntos A y B respectivamente, produce la resultante

${\displaystyle {\mathsf {R}}=(\mathbf {F} -\mathbf {F} ,\mathbf {A} \times \mathbf {F} -\mathbf {B} \times \mathbf {F} )=(0,(\mathbf {A} -\mathbf {B} )\times \mathbf {F} ).}$

Esto muestra que los tornillos de la forma

${\displaystyle {\mathsf {M}}=(0,\mathbf {M} ),}$

se puede interpretar como momentos puros.

Giro

Para definir la torsión de un cuerpo rígido, debemos considerar su movimiento definido por el conjunto parametrizado de desplazamientos espaciales, D (t) = ([A (t)], d (t)), donde [A] es un matriz de rotación yd es un vector de traslación. Esto hace que un punto p que está fijo en las coordenadas del cuerpo en movimiento trace una curva P (t) en el marco fijo dado por,

${\displaystyle \mathbf {P} (t)=[A(t)]\mathbf {p} +\mathbf {d} (t).}$

La velocidad de P es

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=\left[{\frac {dA(t)}{dt}}\right]\mathbf {p} +\mathbf {v} (t),}$

donde v es la velocidad del origen del marco en movimiento, es decir d d / dt. Ahora sustituya p  = [ A ^T ] ( P  -  d ) en esta ecuación para obtener,

${\displaystyle \mathbf {V} _{P}(t)=[\Omega ]\mathbf {P} +\mathbf {v} -[\Omega ]\mathbf {d} \quad {\text{or}}\quad \mathbf {V} _{P}(t)=\mathbf {\omega } \times \mathbf {P} +\mathbf {v} +\mathbf {d} \times \mathbf {\omega } ,}$

donde [Ω] = [d A / d t ] [ A ^T ] es la matriz de velocidad angular y ω es el vector de velocidad angular.

El tornillo

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}),\!}$

es el giro del cuerpo en movimiento. El vector V  =  v  +  d  ×  ω es la velocidad del punto en el cuerpo que se corresponde con el origen del marco fijo.

Hay dos casos especiales importantes: (i) cuando d es constante, es decir v  = 0, entonces la torsión es una rotación pura alrededor de una línea, luego la torsión es

${\displaystyle {\mathsf {L}}=(\omega ,\mathbf {d} \times \omega ),}$

y (ii) cuando [Ω] = 0, es decir, el cuerpo no gira sino que solo se desliza en la dirección v , entonces el giro es un deslizamiento puro dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=(0,\mathbf {v} ).}$

Articulaciones revolucionarias

Para una articulación de revolución , deje que el eje de rotación pase por el punto q y se dirija a lo largo del vector ω , entonces la torsión de la articulación está dada por,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}\omega \\q\times \omega \end{Bmatrix}}.}$

Juntas prismáticas

Para una articulación prismática , deje que el vector v que apunta defina la dirección del deslizamiento, luego el giro de la articulación viene dado por,

${\displaystyle \xi ={\begin{Bmatrix}0\\v\end{Bmatrix}}.}$

Transformación de coordenadas de tornillos

Las transformaciones de coordenadas para tornillos se entienden fácilmente comenzando con las transformaciones de coordenadas del vector de línea de Plücker, que a su vez se obtienen a partir de las transformaciones de las coordenadas de puntos en la línea.

Sea D  = ([ A ],  d ) el desplazamiento de un cuerpo , donde [ A ] es la matriz de rotación yd es el vector de traslación. Considere la línea en el cuerpo definido por los dos puntos p y q , que tiene las coordenadas plucker ,

${\displaystyle {\mathsf {q}}=(\mathbf {q} -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \times \mathbf {q} ),}$

luego, en el marco fijo tenemos las coordenadas de los puntos transformados P  = [ A ] p  +  d y Q  = [ A ] q  +  d , que ceden.

${\displaystyle {\mathsf {Q}}=(\mathbf {Q} -\mathbf {P} ,\mathbf {P} \times \mathbf {Q} )=([A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ),[A](\mathbf {p} \times \mathbf {q} )+\mathbf {d} \times [A](\mathbf {q} -\mathbf {p} ))}$

Por lo tanto, un desplazamiento espacial define una transformación para las coordenadas de Plücker de las líneas dadas por

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\mathbf {Q} -\mathbf {P} \\\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\DA&A\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\mathbf {q} -\mathbf {p} \\\mathbf {p} \times \mathbf {q} \end{Bmatrix}}.}$

La matriz [ D ] es la matriz asimétrica que realiza la operación de producto cruzado, es decir [ D ] y  =  d  ×  y .

La matriz de 6 × 6 obtenida del desplazamiento espacial D  = ([ A ],  d ) se puede ensamblar en la matriz dual

${\displaystyle [{\hat {A}}]=([A],[DA]),}$

que opera sobre un tornillo s  = ( s . v ) para obtener,

${\displaystyle {\mathsf {S}}=[{\hat {A}}]{\mathsf {s}},\quad (\mathbf {S} ,\mathbf {V} )=([A],[DA])(\mathbf {s} ,\mathbf {v} )=([A]\mathbf {s} ,[A]\mathbf {v} +[DA]\mathbf {s} ).}$

La matriz dual [ Â ] = ([ A ], [ DA ]) tiene un determinante 1 y se denomina matriz ortogonal dual .

Giros como elementos de un álgebra de Lie

Considere el movimiento de un cuerpo rígido definido por la transformada homogénea 4x4 parametrizada,

${\displaystyle {\textbf {P}}(t)=[T(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {P}}\\1\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}A(t)&{\textbf {d}}(t)\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

Esta notación no distingue entre P = ( X , Y , Z , 1) y P = ( X , Y , Z ), que es de esperar que sea claro en el contexto.

La velocidad de este movimiento se define calculando la velocidad de las trayectorias de los puntos en el cuerpo,

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)]{\textbf {p}}={\begin{Bmatrix}{\textbf {V}}_{P}\\0\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dot {A}}(t)&{\dot {\textbf {d}}}(t)\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\textbf {p}}\\1\end{Bmatrix}}.}$

El punto denota la derivada con respecto al tiempo, y como p es constante, su derivada es cero.

Sustituya la transformada inversa de p en la ecuación de velocidad para obtener la velocidad de P operando en su trayectoria P ( t ), es decir

${\displaystyle {\textbf {V}}_{P}=[{\dot {T}}(t)][T(t)]^{-1}{\textbf {P}}(t)=[S]{\textbf {P}},}$

dónde

${\displaystyle [S]={\begin{bmatrix}\Omega &-\Omega {\textbf {d}}+{\dot {\textbf {d}}}\\0&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Omega &\mathbf {d} \times \omega +\mathbf {v} \\0&0\end{bmatrix}}.}$

Recuerde que [Ω] es la matriz de velocidad angular. La matriz [ S ] es un elemento del álgebra de Lie se (3) del grupo de Lie SE (3) de transformadas homogéneas. Los componentes de [ S ] son ​​los componentes del tornillo de torsión y, por esta razón, a [ S ] también se le suele llamar torsión.

A partir de la definición de la matriz [ S ], podemos formular la ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle [{\dot {T}}(t)]=[S][T(t)],}$

y pregunte por el movimiento [ T ( t )] que tiene una matriz de torsión constante [ S ]. La solución es la matriz exponencial

${\displaystyle [T(t)]=e^{[S]t}.}$

Esta formulación se puede generalizar de manera que dada una configuración inicial g (0) en SE ( n ), y un giro ξ en se ( n ), la transformación homogénea a una nueva ubicación y orientación se puede calcular con la fórmula,

${\displaystyle g(\theta )=\exp(\xi \theta )g(0),}$

donde θ representa los parámetros de la transformación.

Tornillos por reflejo

En geometría de transformación , el concepto elemental de transformación es la reflexión (matemáticas) . En las transformaciones planas, se obtiene una traslación por reflexión en líneas paralelas, y la rotación se obtiene por reflexión en un par de líneas que se cruzan. Para producir una transformación de tornillo a partir de conceptos similares se deben utilizar planos en el espacio : los planos paralelos deben ser perpendiculares al eje del tornillo , que es la línea de intersección de los planos de intersección que generan la rotación del tornillo. Por tanto, cuatro reflejos en planos efectúan una transformación de tornillo. La tradición de la geometría inversa toma prestadas algunas de las ideas de la geometría proyectivay proporciona un lenguaje de transformación que no depende de la geometría analítica .

Homografia

La combinación de una traslación con una rotación efectuada por un desplazamiento de tornillo se puede ilustrar con el mapeo exponencial . Esta idea en geometría de transformación fue propuesta por Sophus Lie hace más de un siglo. Incluso antes, William Rowan Hamilton mostró la forma versor de los cuaterniones unitarios como exp ( ar ) = cos a + r sin a . La idea también está en la fórmula de Euler parametrizar el círculo unitario en el plano complejo .

Dado que ε ² = 0 para números duales , exp ( aε ) = 1 + aε , todos los demás términos de la serie exponencial desaparecen.

Sea F = {1 + εr  : r ∈ H }, ε ² = 0. Note que F es estable bajo la rotación q → p ⁻¹ qp y bajo la traslación (1 + εr ) (1 + εs ) = 1 + ε ( r + s ) para cuaterniones vectoriales r y s . F es un 3-plana en el espacio de ocho dimensional de cuaterniones duales . Esta F de 3 planos representael espacio , y la homografía construida, restringida a F , es un desplazamiento de tornillo del espacio.

Sea a la mitad del ángulo del giro deseado alrededor del eje r , y br la mitad del desplazamiento en el eje del tornillo . Entonces forme z = exp (( a + bε ) r ) yz * = exp (( a - bε ) r ). Ahora la homografía es

${\displaystyle [q\ :\ 1]{\begin{pmatrix}z&0\\0&z^{*}\end{pmatrix}}=[qz\ :\ z^{*}]\thicksim [(z^{*})^{-1}qz\ :\ 1].}$

La inversa de z * es

${\displaystyle {\frac {1}{\exp(ar-b\varepsilon r)}}=(e^{ar}e^{-br\varepsilon })^{-1}=e^{br\varepsilon }e^{-ar},}$

entonces, la homografía envía q a

${\displaystyle (e^{b\varepsilon }e^{-ar})q(e^{ar}e^{b\varepsilon r})=e^{b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar})e^{b\varepsilon r}=e^{2b\varepsilon r}(e^{-ar}qe^{ar}).}$

Ahora, para cualquier vector de cuaternión p , p * = - p , sea q = 1 + pε ∈ F  donde se efectúan la rotación y traslación requeridas.

William Kingdon Clifford inició el uso de cuaterniones duales para la cinemática , seguido de Aleksandr Kotelnikov , Eduard Study ( Geometrie der Dynamen ) y Wilhelm Blaschke . Sin embargo, el punto de vista de Sophus Lie se ha repetido. ^[12] En 1940, Julian Coolidge describió el uso de cuaterniones duales para desplazamientos de tornillos en la página 261 de A History of Geometrical Methods . Señala la contribución de 1885 de Arthur Buchheim . ^[13] Coolidge basó su descripción simplemente en las herramientas que Hamilton había utilizado para cuaterniones reales.

Evidentemente, el grupo de unidades del anillo de cuaterniones duales es un grupo de Lie . Un subgrupo tiene Lie álgebra generada por los parámetros AR y Bs , donde un , b ∈ R y r , s ∈ H . Estos seis parámetros generan un subgrupo de unidades, la esfera unitaria. Por supuesto, incluye F y la 3-esfera de versores .

Trabajo de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

Considere el conjunto de fuerzas F ₁ , F ₂ ... F _{n que} actúan sobre los puntos X ₁ , X ₂ ... X _n en un cuerpo rígido. Las trayectorias de X _i , i  = 1, ..., n están definidas por el movimiento del cuerpo rígido con rotación [ A ( t )] y la traslación d ( t ) de un punto de referencia en el cuerpo, dada por

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n,}$

donde x _i son coordenadas en el cuerpo en movimiento.

La velocidad de cada punto X _i es

${\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} ,}$

donde ω es el vector de velocidad angular y v es la derivada de d ( t ).

El trabajo de las fuerzas sobre el desplazamiento δ r _i = v _i δt de cada punto está dado por

${\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\cdots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t.}$

Defina las velocidades de cada punto en términos del giro del cuerpo en movimiento para obtener

${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\vec {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+\mathbf {v} )\delta t.}$

Expanda esta ecuación y recopile los coeficientes de ω y v para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta W&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {d} \times {\vec {\omega }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot \mathbf {v} \delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t\\[4pt]&=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} \times {\vec {\omega }})\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\vec {\omega }}\delta t.\end{aligned}}}$

Introducir el giro del móvil y la llave que actúa sobre él dado por

${\displaystyle {\mathsf {T}}=({\vec {\omega }},\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} )=(\mathbf {T} ,\mathbf {T} ^{\circ }),\quad {\mathsf {W}}=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i},\sum _{i=1}^{n}\mathbf {X} _{i}\times \mathbf {F} _{i}\right)=(\mathbf {W} ,\mathbf {W} ^{\circ }),}$

entonces el trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t.}$

La matriz 6 × 6 [Π] se utiliza para simplificar el cálculo del trabajo mediante tornillos, de modo que

${\displaystyle \delta W=(\mathbf {W} \cdot \mathbf {T} ^{\circ }+\mathbf {W} ^{\circ }\cdot \mathbf {T} )\delta t={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t,}$

dónde

${\displaystyle [\Pi ]={\begin{bmatrix}0&I\\I&0\end{bmatrix}},}$

y [I] es la matriz identidad de 3 × 3.

Tornillos recíprocos

Si el trabajo virtual de una llave en un giro es cero, entonces las fuerzas y el torque de la llave son fuerzas de restricción relativas al giro. Se dice que la llave y el giro son recíprocos, es decir, si

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}[\Pi ]{\mathsf {T}}\delta t=0,}$

entonces los tornillos W y T son recíprocos.

Giros en robótica

En el estudio de sistemas robóticos, los componentes del giro a menudo se trasponen para eliminar la necesidad de la matriz 6 × 6 [Π] en el cálculo del trabajo. ^[4] En este caso, el giro se define como

${\displaystyle {\check {\mathsf {T}}}=(\mathbf {d} \times {\vec {\omega }}+\mathbf {v} ,{\vec {\omega }}),}$

por lo que el cálculo del trabajo toma la forma

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t.}$

En este caso, si

${\displaystyle \delta W={\mathsf {W}}\cdot {\check {\mathsf {T}}}\delta t=0,}$

entonces la llave de W es recíproco al giro T .

Ver también

• Eje de tornillo
• Las ecuaciones de Newton-Euler utilizan tornillos para describir los movimientos y cargas de un cuerpo rígido.
• Twist (matemáticas)
• Twist (trigonometría racional)

Referencias

1. Dimentberg, FM (1965) El cálculo del tornillo y sus aplicaciones en mecánica , traducción de la División de tecnología extranjera FTD-HT-23-1632-67
2. Yang, AT (1974) "Cálculo de tornillos" en Preguntas básicas de la teoría del diseño , William R. Spillers (ed.), Elsevier, págs. 266-281.
3. Ball, RS (1876). La teoría de los tornillos: un estudio de la dinámica de un cuerpo rígido . Hodges, Foster.
4. McCarthy, J. Michael; Soh, Gim Song (2010). Diseño geométrico de vínculos . Saltador. ISBN 978-1-4419-7892-9.
5. Featherstone, Roy (1987). Algoritmos de dinámica de robots . Pub académico Kluwer. ISBN 978-0-89838-230-3.
6. Featherstone, Roy (2008). Algoritmos de dinámica de robots . Saltador. ISBN 978-0-387-74315-8.
7. Selig, JM (2011) "Interpolación racional de movimientos corporales rígidos", Avances en la teoría de control, señales y sistemas con modelado físico, Notas de la conferencia en Ciencias de la información y el control, Volumen 407/2011 213-224, doi : 10.1007 / 978-3-642-16135-3_18 Springer.
8. Kong, Xianwen; Gosselin, Clément (2007). Tipo Síntesis de mecanismos paralelos . Saltador. ISBN 978-3-540-71990-8.
9. Felix Klein (1902) (traductor de DH Delphenich) Sobre la teoría de los tornillos de Sir Robert Ball
10. Harvey Lipkin (1983) Metrical Geometry Archivado el 5 de marzo de 2016 en la Wayback Machine de la Georgia Tech University
11. Clifford, William Kingdon (1873), "Boceto preliminar de Biquaternions", Documento XX, Documentos matemáticos , p. 381.
12. Xiangke Wang, Dapeng Han, Changbin Yu y Zhiqiang Zheng (2012) "La estructura geométrica de los cuaterniones duales unitarios con aplicación en control cinemático", Journal of Mathematical Analysis and Applications 389 (2): 1352 a 64
13. Buchheim, Arthur (1885). "Una memoria sobre biquaternions". Revista Estadounidense de Matemáticas . 7 (4): 293–326. doi : 10.2307 / 2369176 . JSTOR 2369176 . 

enlaces externos

• Joe Rooney William Kingdon Clifford , Departamento de Diseño e Innovación, Open University, Londres.
• Notas de Ravi Banavar sobre robótica, geometría y control