En geometría diferencial , el flujo de Yamabe es un flujo geométrico intrínseco , un proceso que deforma la métrica de una variedad de Riemann . Primero introducido por Richard S. Hamilton , [ citación necesaria ] flujo Yamabe es para colectores no compactas, y es el negativo L 2 - flujo de gradiente de la (normalizado) Total curvatura escalar , restringido a una determinada clase conformal : se puede interpretar como deformando una métrica de Riemann a una métrica conforme de curvatura escalar constante, cuando este flujo converge.
El flujo de Yamabe se introdujo en respuesta al propio trabajo de Richard S. Hamilton sobre el flujo de Ricci y la solución de Rick Schoen del problema de Yamabe en variedades de invariante de Yamabe conforme positivo .
Resultados principales
Los puntos fijos del flujo de Yamabe son métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme dada. El flujo se estudió por primera vez en la década de 1980 en notas inéditas de Richard Hamilton. Hamilton conjeturó que, para cada métrica inicial, el flujo converge a una métrica conforme de curvatura escalar constante. Esto fue verificado por Rugang Ye en el caso plano conforme localmente. [1] Más tarde, Simon Brendle demostró la convergencia del flujo para todas las clases conformes y métricas iniciales arbitrarias. [2] La métrica limitante de curvatura escalar constante ya no es típicamente un minimizador de Yamabe en este contexto. Si bien el caso compacto está resuelto, el flujo en colectores completos no compactos no se comprende completamente y sigue siendo un tema de investigación actual.
Notas
- ^ Ye, Rugang (1994). "Existencia global y convergencia del flujo de Yamabe" . J. Geom diferencial . 39 (1): 35–50. doi : 10.4310 / jdg / 1214454674 .
- ^ Brendle, Simon (2005). "Convergencia del flujo de Yamabe para energía inicial arbitraria" . J. Geom diferencial . 69 (2): 217–278. doi : 10.4310 / jdg / 1121449107 .