En matemáticas , un álgebra de Hopf , H , es cuasitriangular [1] si existe un elemento invertible , R , de tal que
- para todos , dónde es el coproducto en H , y el mapa lineal es dado por ,
- ,
- ,
dónde , , y , dónde , , y , son los morfismos del álgebra determinados por
R se llama matriz R.
Como consecuencia de las propiedades de cuasitriangularidad, la matriz R , R , es una solución de la ecuación de Yang-Baxter (por lo que se puede usar un módulo V de H para determinar cuasi-invariantes de trenzas , nudos y enlaces ). También como consecuencia de las propiedades de cuasitriangularidad,; es más, , y . Se puede demostrar además que la antípoda S debe ser un isomorfismo lineal y, por tanto, S 2 es un automorfismo. De hecho, S 2 viene dado por la conjugación de un elemento invertible: dónde (cf. Álgebras de Ribbon Hopf ).
Es posible construir un álgebra de Hopf cuasitriangular a partir de un álgebra de Hopf y su dual, utilizando la construcción doble cuántica de Drinfeld .
Si el álgebra de Hopf H es cuasitriangular, entonces la categoría de módulos sobre H se trenza con trenzado
- .
Retortijón
La propiedad de ser un álgebra de Hopf cuasi triangular se conserva girando a través de un elemento invertible tal que y satisfaciendo la condición de ciclo
Además, es invertible y la antípoda retorcida viene dada por , con la comultiplicación retorcida, la matriz R y la co-unidad cambian de acuerdo con los definidos para el álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf . Tal giro se conoce como un giro admisible (o de Drinfeld).
Ver también
Notas
Referencias
- Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 82 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl 0793.16029 .
- Montgomery, Susan ; Schneider, Hans-Jürgen (2002). Nuevas direcciones en álgebras de Hopf . Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas. 43 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-81512-3. Zbl 0990.00022 .