Yangian

En la teoría de la representación , un Yangian es un álgebra de Hopf de dimensión infinita , un tipo de grupo cuántico . Los yangianos aparecieron por primera vez en física en el trabajo de Ludvig Faddeev y su escuela a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980 en relación con el método de dispersión inversa cuántica . El nombre Yangian fue introducido por Vladimir Drinfeld en 1985 en honor a CN Yang .

Inicialmente, se consideraron una herramienta conveniente para generar las soluciones de la ecuación cuántica de Yang-Baxter .

El centro de Yangian se puede describir mediante un determinante cuántico .

Descripción

Para cualquier álgebra de Lie semisimple de dimensión finita a , Drinfeld definió un álgebra de Hopf de dimensión infinita Y ( a ), llamada Yangian de a . Este álgebra de Hopf es una deformación del álgebra envolvente universal U ( a [ z ]) del álgebra de Lie de bucles polinomiales de un dado por generadores y relaciones explícitos. Las relaciones pueden estar codificadas por identidades que involucren una matriz R racional . Reemplazándolo con una matriz R trigonométrica , se llega a grupos cuánticos afines, definido en el mismo artículo de Drinfeld.

En el caso de la lineal general álgebra de Lie gl _N , la Yangian admite una descripción más simple en términos de una sola ternario (o RTT ) relación en los generadores de matriz debido a Faddeev y coautores. La Y de Yangian ( gl _N ) se define como el álgebra generada por elementos con 1 ≤ i , j ≤ N y p ≥ 0, sujeto a las relaciones${\displaystyle t_{ij}^{(p)}}$

${\displaystyle [t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).}$

Definiendo , ambientando${\displaystyle t_{ij}^{(-1)}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z^{-p+1}}$

e introduciendo la matriz R R ( z ) = I + z ⁻¹ P en C ^N C ^N , donde P es el operador que permuta los factores tensoriales, las relaciones anteriores se pueden escribir más simplemente como la relación ternaria:${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \displaystyle {R_{12}(z-w)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(z-w).}}$

El Yangian se convierte en un álgebra de Hopf con Δ comultiplication, counit ε y antípoda s dada por

${\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T(z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.}$

A valores especiales del parámetro espectral , la matriz R degenera en una proyección de rango uno. Esto se puede utilizar para definir el determinante cuántico de , que genera el centro del Yangian.${\displaystyle (z-w)}$${\displaystyle T(z)}$

El retorcido Yangian Y ^- ( gl _2N ), introducido por GI Olshansky, es el co-ideal generado por los coeficientes de

${\displaystyle \displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}}$

donde σ es la involución de gl _2N dada por

${\displaystyle \displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}}$

El determinante cuántico es el centro de Yangian.

Aplicaciones

Teoría de la representación clásica

GI Olshansky e I.Cherednik descubrieron que el Yangian de gl _N está estrechamente relacionado con las propiedades de ramificación de representaciones irreductibles de dimensión finita de álgebras lineales generales. En particular, la construcción clásica de Gelfand-Tsetlin de una base en el espacio de tal representación tiene una interpretación natural en el lenguaje de los yangianos, estudiada por M.Nazarov y V.Tarasov. Olshansky, Nazarov y Molev descubrieron más tarde una generalización de esta teoría a otras álgebras de Lie clásicas , basadas en el retorcido Yangian.

Física

El Yangian aparece como un grupo de simetría en diferentes modelos de la física. ^{[ ¿por qué? ]}

Yangian aparece como un grupo de simetría de modelos unidimensionales con solución exacta, como cadenas de espín , modelo de Hubbard y en modelos de teoría de campo cuántica relativista unidimensional .

La ocurrencia más famosa es en la teoría supersimétrica plana de Yang-Mills en cuatro dimensiones, donde las estructuras de Yangian aparecen en el nivel de simetrías de operadores, ^{[1] [2]} y amplitud de dispersión como fue descubierto por Drummond, Henn y Plefka .

Teoría de la representación

Drinfeld parametrizó las representaciones irreducibles de dimensión finita de yangianos de una manera similar a la teoría de mayor peso en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimple. El papel del mayor peso lo desempeña un conjunto finito de polinomios de Drinfeld . Drinfeld también descubrió una generalización de la dualidad clásica de Schur-Weyl entre representaciones de grupos generales lineales y simétricos que involucra el Yangian de sl _N y el álgebra de Hecke afín degenerada (álgebra de Hecke graduada de tipo A, en la terminología de George Lusztig ).

Las representaciones de los yangianos se han estudiado ampliamente, pero la teoría aún se encuentra en desarrollo activo.

Ver también

• Álgebra cuántica afín

Notas

1. Beisert, N. (2007). La matriz S de AdS / CFT y simetría de Yangian. preimpresión de arXiv arXiv: 0704.0400.
2. Derrame, F. (2009). Teorías débilmente acopladas N = 4 Super Yang-Mills y N = 6 Chern-Simons de u (2 | 2) simetría Yangian. Revista de física de altas energías, 2009 (03), 014, https://arxiv.org/abs/0810.3897

Referencias

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• Drinfeld, VG (1987). "Una nueva realización de yangianos y de álgebras afines cuánticas". Doklady Akademii Nauk SSSR (en ruso). 296 (1): 13-17.Traducido a las matemáticas soviéticas - Doklady . 36 (2): 212–216. 1988.
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• MacKay, Niall (2005). "Introducción a la simetría de Yangian en la teoría de campos integrables". International Journal of Modern Physics A . 20 (30): 7189–7217. arXiv : hep-th / 0409183 . Código bibliográfico : 2005IJMPA..20.7189M . doi : 10.1142 / s0217751x05022317 . S2CID  10256766 .
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