En matemáticas , un simetrizador de Young es un elemento del álgebra de grupo del grupo simétrico , construido de tal manera que, para el homomorfismo del álgebra de grupo a los endomorfismos de un espacio vectorial obtenido de la acción de en por permutación de índices, la imagen del endomorfismo determinada por ese elemento corresponde a una representación irreductible del grupo simétrico sobre los números complejos . Una construcción similar funciona en cualquier campo, y las representaciones resultantes se denominan módulos de Specht . El simetrizador de Young lleva el nombre del matemático británico Alfred Young .
Definición
Dado un grupo simétrico finito S n y un cuadro de Young específico λ correspondiente a una partición numerada de n , y considere la acción de dado permutando las cajas de . Definir dos subgrupos de permutación y de S n como sigue: [ aclaración necesaria ]
y
En correspondencia con estos dos subgrupos, defina dos vectores en el álgebra de grupos como
y
dónde es el vector unitario correspondiente ag , yes el signo de la permutación. El producto
es el simetrizador de Young correspondiente al cuadro de Young λ. Cada simetrizador de Young corresponde a una representación irreductible del grupo simétrico, y cada representación irreducible puede obtenerse de un simetrizador de Young correspondiente. (Si reemplazamos los números complejos por campos más generales , las representaciones correspondientes no serán irreductibles en general).
Construcción
Sea V cualquier espacio vectorial sobre los números complejos . Considere entonces el espacio vectorial del producto tensorial( n veces). Sea S n actuar sobre este espacio de producto tensorial permutando los índices. Entonces uno tiene una representación de álgebra de grupo natural en .
Dada una partición λ de n , de modo que, luego la imagen de es
Por ejemplo, si , y , con el cuadro canónico de Young . Entonces el correspondiente es dado por
Para cualquier vector de producto de entonces tenemos
Así, el lapso de todos se extiende claramente y desde el lapso obtenemos , donde escribimos informalmente .
Observe también cómo esta construcción se puede reducir a la construcción para . Dejar ser el operador de identidad y el operador de intercambio definido por , por lo tanto y . Tenemos eso
mapas en , más precisamente
¿Está el proyector sobre . Luego
cuál es el proyector en .
La imagen de es
donde μ es la partición conjugada a λ. Aquí, y son los espacios producto tensorial simétrico y alterno .
La imagen de en es una representación irreductible de S n , llamada módulo de Specht . Nosotros escribimos
por la representación irreductible.
Algún múltiplo escalar de es idempotente, [1] es decir para algún número racional Específicamente, uno encuentra . En particular, esto implica que las representaciones del grupo simétrico se pueden definir sobre los números racionales; es decir, sobre el álgebra de grupos racional.
Considere, por ejemplo, S 3 y la partición (2,1). Entonces uno tiene
Si V es un espacio vectorial complejo, entonces las imágenes de en espacios proporciona esencialmente todas las representaciones irreductibles de dimensión finita de GL (V).
Ver también
Notas
- ^ Ver ( Fulton y Harris 1991 , Teorema 4.3, p. 46)
Referencias
- William Fulton. Young Tableaux, con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría . Prensa de la Universidad de Cambridge, 1997.
- Conferencia 4 de Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- Bruce E. Sagan . El grupo simétrico . Springer, 2001.