En matemáticas, George Glauberman 's Z * teorema se expresan como sigue:
Teorema Z *: Sea G un grupo finito , siendo O ( G ) su subgrupo normal máximo de orden impar . Si T es un subgrupo 2 de Sylow de G que contiene una involución no conjugada en G con ningún otro elemento de T , entonces la involución se encuentra en Z * ( G ), que es la imagen inversa en G del centro de G / O ( G ).
Esto generaliza el teorema de Brauer-Suzuki (y la demostración usa el teorema de Brauer-Suzuki para tratar algunos casos pequeños).
Detalles
El artículo original ( Glauberman 1966 ) dio varios criterios para que un elemento se encuentre fuera de Z * ( G ). Su teorema 4 establece:
Para un elemento t en T , es necesario y suficiente que t esté fuera de Z * ( G ) que haya algo g en G y un subgrupo abeliano U de T que satisfaga las siguientes propiedades:
- g normaliza tanto U como el centralizador C T ( U ), es decir, g está contenido en N = N G ( U ) ∩ N G ( C T ( U ))
- t está contenido en U y tg ≠ gt
- U es generado por los N -conjugados de t
- el exponente de U es igual al orden de t
Además, puede elegirse g para que tenga un orden de potencia principal si t está en el centro de T , y g puede elegirse en T de lo contrario.
Un corolario simple es que un elemento t en T no se encuentra en Z * ( G ) si y sólo si hay alguna s ≠ t tal que s y t conmute y s y t son G -conjugate.
Una generalización a impares primos se registró en ( Guralnick y Robinson 1993 ): si t es un elemento de orden primo p y el conmutador [ t , g ] tiene orden primos entre sí a p para todos g , entonces t es de módulo central de la p '- núcleo . Esto también se generalizó a primos impares y a grupos de Lie compactos en ( Mislin y Thévenaz 1991 ), que también contiene varios resultados útiles en el caso finito.
( Henke y Semeraro 2014 ) han estudiado también una extensión de la Z * teorema de a pares de los grupos ( G , H ) con H un subgrupo normal de G .
Referencias
- Dade, Everett C. (1971), "Teoría del carácter perteneciente a grupos finitos simples", en Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Grupos simples finitos. Actas de una conferencia educativa organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de estudios avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969. , Boston, MA: Academic Press , págs. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0, MR 0360785 da una demostración detallada del teorema de Brauer-Suzuki.
- Glauberman, George (1966), "Elementos centrales en grupos sin núcleo", Journal of Algebra , 4 (3): 403–420, doi : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90030-5 , ISSN 0021-8693 , MR 0202822 , Zbl 0145.02802
- Guralnick, Robert M .; Robinson, Geoffrey R. (1993), "Sobre las extensiones del teorema de Baer-Suzuki", Israel Journal of Mathematics , 82 (1): 281-297, doi : 10.1007 / BF02808114 , ISSN 0021-2172 , MR 1239051 , Zbl 0794.20029
- Henke, Ellen; Semeraro, Jason (2014). "Una generalización del teorema Z *". arXiv : 1411.1932v1 [ math.GR ].
- Mislin, Guido; Thévenaz, Jacques (1991), "El teorema Z * para grupos de Lie compactos" , Mathematische Annalen , 291 (1): 103-111, doi : 10.1007 / BF01445193 , ISSN 0025-5831 , MR 1125010