En matemáticas , los polinomios de Zernike son una secuencia de polinomios que son ortogonales en el disco unitario . Nombrados en honor al físico óptico Frits Zernike , ganador del Premio Nobel de Física de 1953 e inventor de la microscopía de contraste de fase , desempeñan un papel importante en varias ramas de la óptica, como la óptica de haces y la imagen. [1] [2]
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Definiciones
Hay polinomios de Zernike pares e impares . Los polinomios pares de Zernike se definen como
(función uniforme sobre el ángulo azimutal ), y los polinomios impares de Zernike se definen como
(función impar sobre el ángulo azimutal ) Donde m y n son no negativos números enteros con n ≥ m ≥ 0 ( m = 0, incluso para Zernike polinomios),es el ángulo azimutal , ρ es la distancia radial, y son los polinomios radiales definidos a continuación. Los polinomios de Zernike tienen la propiedad de estar limitados a un rango de −1 a +1, es decir. Los polinomios radiales se definen como
para un número par de n - m , mientras que es 0 para un número impar de n - m . Un valor especial es
Otras representaciones
Reescribir las razones de los factoriales en la parte radial como productos de binomios muestra que los coeficientes son números enteros:
- .
Una notación como funciones hipergeométricas gaussianas terminadoras es útil para revelar recurrencias, demostrar que son casos especiales de polinomios de Jacobi , escribir las ecuaciones diferenciales, etc .:
para n - m par.
El factor en el polinomio radial puede expandirse en una base de Bernstein de incluso para o veces una función de por extraño en el rango . Por tanto, el polinomio radial puede expresarse mediante un número finito de polinomios de Bernstein con coeficientes racionales:
Índices secuenciales de Noll
Las aplicaciones a menudo involucran álgebra lineal, donde una integral sobre un producto de polinomios de Zernike y algún otro factor construye elementos de una matriz. Para enumerar las filas y columnas de estas matrices por un solo índice, Noll ha introducido un mapeo convencional de los dos índices n y l a un solo índice j . [3] La mesa de esta asociacióncomienza de la siguiente manera (secuencia A176988 en la OEIS ).
n, l | 0,0 | 1,1 | 1, −1 | 2,0 | 2, −2 | 2,2 | 3, −1 | 3,1 | 3, −3 | 3,3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
n, l | 4,0 | 4,2 | 4, −2 | 4,4 | 4, −4 | 5,1 | 5, −1 | 5,3 | 5, −3 | 5,5 |
j | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 |
La regla es la siguiente.
- Los polinomios pares Zernike Z (con partes azimutales pares, dónde como es un número positivo) obtener índices pares j.
- La Z impar se obtiene (con partes azimutales impares, dónde como es un número negativo) índices impares j .
- Dentro de una n dada , una menorda como resultado una j más baja .
Índices estándar OSA / ANSI
Polinomios de Zernike de índice único OSA [4] y ANSI que utilizan:
n, l | 0,0 | 1, -1 | 1,1 | 2, -2 | 2,0 | 2,2 | 3, -3 | 3, -1 | 3,1 | 3,3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
j | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
n, l | 4, -4 | 4, -2 | 4,0 | 4,2 | 4,4 | 5, -5 | 5, -3 | 5, -1 | 5,1 | 5,3 |
j | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 |
Índices marginales / de la Universidad de Arizona
El esquema de indexación Fringe se utiliza en software comercial de diseño óptico y en pruebas ópticas, por ejemplo, en fotolitografía . [5] [6]
dónde es la función de signo o signum . Los primeros 20 números marginales se enumeran a continuación.
n, l | 0,0 | 1,1 | 1, −1 | 2,0 | 2,2 | 2, -2 | 3,1 | 3, -1 | 4,0 | 3,3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
n, l | 3, -3 | 4,2 | 4, −2 | 5,1 | 5, −1 | 6,0 | 4,4 | 4, -4 | 5,3 | 5, -3 |
j | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 |
Índices de Wyant
James C. Wyant usa el esquema de indexación "Fringe" excepto que comienza en 0 en lugar de 1 (resta 1). [7] Este método se usa comúnmente, incluido el software de análisis de interferogramas en los interferómetros Zygo y el software de código abierto DFTFringe.
Propiedades
Ortogonalidad
La ortogonalidad en la parte radial dice [8]
o
La ortogonalidad en la parte angular está representada por el elemental
dónde (a veces llamado factor de Neumann porque aparece con frecuencia junto con funciones de Bessel) se define como 2 siy 1 si. El producto de las partes angular y radial establece la ortogonalidad de las funciones de Zernike con respecto a ambos índices si se integran sobre el disco unitario,
dónde es el jacobiano del sistema de coordenadas circular, y donde y ambos son iguales.
Transformada de Zernike
Cualquier campo de fase de valor real suficientemente uniforme sobre el disco de la unidad se puede representar en términos de sus coeficientes de Zernike (pares e impares), al igual que las funciones periódicas encuentran una representación ortogonal con la serie de Fourier . Tenemos
donde los coeficientes se pueden calcular utilizando productos internos . En el espacio de funciones en el disco de la unidad, hay un producto interno definido por
Los coeficientes de Zernike se pueden expresar de la siguiente manera:
Alternativamente, se pueden usar los valores conocidos de la función de fase G en la cuadrícula circular para formar un sistema de ecuaciones. La función de fase se recupera mediante el producto ponderado de coeficiente desconocido con (valores conocidos) del polinomio de Zernike a lo largo de la cuadrícula unitaria. Por lo tanto, los coeficientes también se pueden encontrar resolviendo un sistema lineal, por ejemplo, mediante inversión de matrices. Los algoritmos rápidos para calcular la transformada de Zernike directa e inversa utilizan las propiedades de simetría de las funciones trigonométricas , la separabilidad de las partes radiales y azimutales de los polinomios de Zernike y sus simetrías rotacionales.
Simetrías
Las reflexiones de las funciones trigonométricas dan como resultado que la paridad con respecto a la reflexión a lo largo del eje x es
- para l ≥ 0,
- para l <0.
Los cambios π de las funciones trigonométricas dan como resultado que la paridad con respecto a la reflexión del punto en el centro de las coordenadas es
dónde bien podría ser escrito porque ya que los números pares son solo casos para obtener polinomios de Zernike que no desaparecen. (Si n es par, entonces l también es par. Si n es impar, entonces l también es impar.) Esta propiedad se usa a veces para categorizar polinomios de Zernike en polinomios pares e impares en términos de su dependencia angular. (también es posible agregar otra categoría con l = 0 ya que tiene una propiedad especial de no dependencia angular).
- Polinomios de Zernike angularmente pares: polinomios de Zernike con l par de modo que
- Polinomios de Zernike angulares impares: polinomios de Zernike con l impar de modo que
Los polinomios radiales son también ya sea par o impar, dependiendo de orden n o m :
Estas igualdades se ven fácilmente ya que con un impar (par) m contiene solo poderes impares (pares) para ρ (ver ejemplos de debajo).
La periodicidad de las funciones trigonométricas da como resultado una invariancia si se rota por múltiplos de radianes alrededor del centro:
Relaciones de recurrencia
Los polinomios de Zernike satisfacen la siguiente relación de recurrencia que no depende ni del grado ni del orden azimutal de los polinomios radiales: [9]
De la definición de Se puede ver que y . La siguiente relación de recurrencia de tres términos [10] permite calcular todos los demás:
La relación anterior es especialmente útil ya que la derivada de se puede calcular a partir de dos polinomios radiales de Zernike de grado adyacente: [10]
Ejemplos de
Polinomios radiales
Los primeros polinomios radiales son:
Polinomios de Zernike
Los primeros modos de Zernike, con índices únicos OSA / ANSI y Noll , se muestran a continuación. Están normalizados de manera que:.
Índice OSA / ANSI () | Índice de Noll () | Índice de Wyant () | Fringe / índice UA () | Grado radial () | Grado azimutal () | Nombre clasico | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | Pistón (ver Distribución de semicírculo de Wigner ) | ||
1 | 3 | 2 | 3 | 1 | −1 | Inclinación ( inclinación Y, inclinación vertical) | ||
2 | 2 | 1 | 2 | 1 | +1 | Sugerencia (X-Tilt, inclinación horizontal) | ||
3 | 5 | 5 | 6 | 2 | −2 | Astigmatismo oblicuo | ||
4 | 4 | 3 | 4 | 2 | 0 | Desenfoque (posición longitudinal) | ||
5 | 6 | 4 | 5 | 2 | +2 | Astigmatismo vertical | ||
6 | 9 | 10 | 11 | 3 | −3 | Trébol vertical | ||
7 | 7 | 7 | 8 | 3 | −1 | Coma vertical | ||
8 | 8 | 6 | 7 | 3 | +1 | Coma horizontal | ||
9 | 10 | 9 | 10 | 3 | +3 | Trébol oblicuo | ||
10 | 15 | 17 | 18 | 4 | −4 | Quadrafoil oblicuo | ||
11 | 13 | 12 | 13 | 4 | −2 | Astigmatismo secundario oblicuo | ||
12 | 11 | 8 | 9 | 4 | 0 | Esférico primario | ||
13 | 12 | 11 | 12 | 4 | +2 | Astigmatismo secundario vertical | ||
14 | 14 | dieciséis | 17 | 4 | +4 | Quadrafoil vertical |
Aplicaciones
Las funciones son una base definida sobre el área de soporte circular, típicamente los planos de la pupila en la imagen óptica clásica en longitudes de onda visibles e infrarrojas a través de sistemas de lentes y espejos de diámetro finito. Sus ventajas son las propiedades analíticas simples heredadas de la simplicidad de las funciones radiales y la factorización en funciones radiales y azimutales; esto conduce, por ejemplo, a expresiones de forma cerrada de la transformada bidimensional de Fourier en términos de funciones de Bessel. [11] [12] Su desventaja, en particular si se trata de n altos , es la distribución desigual de las líneas nodales sobre el disco unitario, lo que introduce efectos de timbre cerca del perímetro., que a menudo conduce a intentos de definir otras funciones ortogonales sobre el disco circular. [13] [14] [15]
En la fabricación óptica de precisión, los polinomios de Zernike se utilizan para caracterizar los errores de orden superior observados en los análisis interferométricos. En sensores de pendiente de frente de onda como Shack-Hartmann , los coeficientes de Zernike del frente de onda se pueden obtener ajustando pendientes medidas con derivados polinomiales de Zernike promediados sobre las sub-aberturas de muestreo. [16] En optometría y oftalmología , los polinomios de Zernike se utilizan para describir las aberraciones del frente de onda de la córnea o el cristalino a partir de una forma esférica ideal, que dan como resultado errores de refracción . También se utilizan comúnmente en óptica adaptativa , donde se pueden utilizar para caracterizar la distorsión atmosférica . Las aplicaciones obvias para esto son IR o astronomía visual e imágenes de satélite .
Otra aplicación de los polinomios de Zernike se encuentra en la teoría de difracción y aberraciones de Nijboer-Zernike ampliada .
Los polinomios de Zernike se utilizan ampliamente como funciones básicas de los momentos de la imagen . Dado que los polinomios de Zernike son ortogonales entre sí, los momentos de Zernike pueden representar propiedades de una imagen sin redundancia o superposición de información entre los momentos. Aunque los momentos de Zernike dependen significativamente de la escala y la traslación del objeto en una región de interés (ROI), sus magnitudes son independientes del ángulo de rotación del objeto. [17] Por lo tanto, se pueden utilizar para extraer características de imágenes que describen las características de forma de un objeto. Por ejemplo, los momentos de Zernike se utilizan como descriptores de forma para clasificar masas mamarias benignas y malignas [18] o la superficie de discos vibrantes. [19] Los Momentos Zernike también se han utilizado para cuantificar la forma de las líneas celulares de cáncer de osteosarcoma a nivel de una sola célula. [20] Además, los Momentos Zernike se han utilizado para la detección temprana de la enfermedad de Alzheimer mediante la extracción de información discriminativa de las imágenes de RM de la enfermedad de Alzheimer, el deterioro cognitivo leve y los grupos sanos. [21]
Mayores dimensiones
El concepto se traduce en dimensiones superiores D si los multinomiosen coordenadas cartesianas se convierten en coordenadas hiperesféricas ,, multiplicado por un producto de los polinomios de Jacobi de las variables angulares. Endimensiones, las variables angulares son armónicos esféricos , por ejemplo. Combinaciones lineales de los poderes definir una base ortogonal satisfactorio
- .
(Tenga en cuenta que un factor se absorbe en la definición de R aquí, mientras que enla normalización se elige de forma ligeramente diferente. Esto es en gran parte una cuestión de gustos, dependiendo de si uno desea mantener un conjunto de coeficientes enteros o prefiere fórmulas más ajustadas si la ortogonalización está involucrada.) La representación explícita es
incluso para , de lo contrario idéntico a cero.
Ver también
- Polinomios de Jacobi
- Teoría de Nijboer-Zernike
- Polinomios pseudo-Zernike
Referencias
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ignorado ( ayuda ) - Farokhi, Sajad; Shamsuddin, Siti Mariyam; Flusser, Jan; Sheikh, UU; Khansari, Mohammad; Jafari-Khouzani, Kourosh (2014). "Reconocimiento facial del infrarrojo cercano mediante la combinación de momentos Zernike y transformada de ondículas discretas indecimadas". Procesamiento de señales digitales . 31 (1): 13-27. doi : 10.1016 / j.dsp.2014.04.008 .
enlaces externos
- El sitio web extendido de Nijboer-Zernike
- Código MATLAB para el cálculo rápido de momentos Zernike
- Biblioteca Python / NumPy para calcular polinomios de Zernike
- Aberraciones de Zernike en la óptica del telescopio
- Ejemplo: uso de WolframAlpha para trazar polinomios de Zernike
- ortopía, un paquete de Python que calcula polinomios ortogonales (incluidos los polinomios de Zernike)