En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un morfismo cero es un tipo especial de morfismo que exhibe propiedades como los morfismos hacia y desde un objeto cero .
Definiciones
Supongamos que C es una categoría , y f : X → Y es un morfismo en C . El morfismo f se denomina morfismo constante (oa veces morfismo cero ) si para cualquier objeto W en C y cualquier g , h : W → X , fg = fh . Dualmente, f se denomina morfismo coconstante (o, a veces, morfismo cero recto ) si para cualquier objeto Z en C y cualquier g , h : Y → Z , gf = hf . Un morfismo cero es uno que es tanto un morfismo constante como un morfismo coconstante.
Una categoría con cero morfismos es aquella en la que, por cada dos objetos A y B en C , hay un morfismo fijo 0 AB : A → B , y esta colección de morfismos es tal que para todos los objetos X , Y , Z en C y todos los morfismos f : Y → Z , g : X → Y , el siguiente diagrama conmuta:
Los morfismos 0 XY son necesariamente cero morfismos y forman un sistema compatible de cero morfismos.
Si C es una categoría con cero morfismos, entonces la colección de 0 XY es única. [1]
Esta forma de definir un "morfismo cero" y la frase "una categoría con morfismos cero" por separado es desafortunada, pero si cada grupo tiene un "morfismo cero", entonces la categoría "tiene morfismos cero".
Ejemplos de
- En la categoría de los grupos (o de los módulos ), un morfismo cero es un homomorfismo f : G → H que mapea todos G al elemento de identidad de H . El objeto cero en la categoría de grupos es el grupo trivial 1 = {1}, que es único hasta el isomorfismo . Cada morfismo cero se puede factorizar a través de 1 , es decir, f : G → 1 → H .
- De manera más general, suponga que C es cualquier categoría con un objeto cero 0 . Entonces, para todos los objetos X e Y hay una secuencia única de morfismos.
- 0 XY : X → 0 → Y
- La familia de todos los morfismos así construida dota a C con la estructura de una categoría con cero morfismos.
- Si C es una categoría preaditiva , entonces cada conjunto de morfismos Mor ( X , Y ) es un grupo abeliano y, por lo tanto, tiene un elemento cero. Estos elementos cero forman una familia compatible de morfismos cero para C, lo que lo convierte en una categoría con morfismos cero.
- La categoría de conjuntos no tiene un objeto cero, pero tiene un objeto inicial , el conjunto vacío ∅. El único derecho cero morfismos en conjunto son las funciones ∅ → X para un conjunto X .
Conceptos relacionados
Si C tiene un objeto de cero 0 , dado dos objetos X y Y en C , existen morfismos canónicos f : X → 0 y g : 0 → Y . Entonces, gf es un morfismo cero en Mor C ( X , Y ). Por lo tanto, cada categoría con un objeto de cero es una categoría con cero morfismos dadas por la composición 0 XY : X → 0 → Y .
Si una categoría tiene cero morfismos, entonces se pueden definir las nociones de kernel y cokernel para cualquier morfismo en esa categoría.
Referencias
- Sección 1.7 de Pareigis, Bodo (1970), Categorías y functores , Matemáticas puras y aplicadas, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5
- Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007), Teoría de categorías , Heldermann Verlag.
Notas
- ^ "Categoría con cero morfismos - Intercambio de pila de matemáticas" . Math.stackexchange.com . 2015-01-17 . Consultado el 30 de marzo de 2016 .