La topología contable o complementaria contable en cualquier conjunto X consiste en el conjunto vacío y todos los subconjuntos contables de X , es decir, todos los conjuntos cuyo complemento en X es contable . De ello se desprende que los subconjuntos cerrados solamente son X y los subconjuntos contables de X .
Cada conjunto X con la topología de los complementos numerables es Lindelöf , ya que cada no vacíos serie abrir omite sólo una cantidad numerable de puntos de X . También es T 1 , ya que todos los singleton están cerrados.
Si X es un conjunto incontable, dos conjuntos abiertos cualesquiera se cruzan, por lo que el espacio no es Hausdorff . Sin embargo, en la topología cocountable, todas las secuencias convergentes son eventualmente constantes, por lo que los límites son únicos. Dado que los conjuntos compactos en X son subconjuntos finitos, todos los subconjuntos compactos son cerrados, otra condición generalmente relacionada con el axioma de separación de Hausdorff.
La topología contable en un conjunto contable es la topología discreta . La topología contable en un conjunto incontable está hiperconectada , por lo tanto conectada , localmente conectada y pseudocompacta , pero ni débilmente compacta ni numerablemente metacompacta , por lo tanto, no compacta.
Ver también
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (Ver ejemplo 20) .