En matemáticas , un par ( B , N ) es una estructura en grupos de tipo Lie que le permite a uno dar pruebas uniformes de muchos resultados, en lugar de dar una gran cantidad de pruebas caso por caso. En términos generales, muestra que todos esos grupos son similares al grupo lineal general sobre un campo. Fueron introducidos por el matemático Jacques Tits , y también se conocen a veces como sistemas de Tits .
Definición
Un par ( B , N ) es un par de subgrupos B y N de un grupo G tal que se cumplen los siguientes axiomas:
- G es generado por B y N .
- La intersección, H , de B y N es un subgrupo normal de N .
- El grupo W = N / H es generado por un conjunto S de elementos w i de orden 2, para i en algún conjunto I no vacío .
- Si w i es un elemento de S y w es cualquier elemento de W , entonces w i Bw está contenido en la unión de Bw i wB y BwB .
- No generador w i normaliza B .
La idea de esta definición es que B es un análogo de las matrices triangulares superiores del grupo lineal general GL n ( K ), H es un análogo de las matrices diagonales, y N es un análogo de la normalizador de H .
El subgrupo B a veces se denomina subgrupo Borel , H a veces se denomina subgrupo Cartan y W se denomina grupo Weyl . El par ( W , S ) es un sistema Coxeter .
La cantidad de generadores se llama rango .
Ejemplos de
- Supongamos que G es cualquier grupo de permutación doblemente transitivo en un conjunto X con más de 2 elementos. Dejamos que B sea el subgrupo de G que fija un punto x , y que N sea el subgrupo que fija o intercambia 2 puntos x e y . El subgrupo H es entonces el conjunto de elementos que fijan tanto x como y , y W tiene orden 2 y su elemento no trivial está representado por cualquier cosa que intercambie x e y .
- Por el contrario, si G tiene un par (B, N) de rango 1, entonces la acción de G en las clases laterales de B es doblemente transitiva . Entonces, los pares BN de rango 1 son más o menos lo mismo que las acciones doblemente transitivas en conjuntos con más de 2 elementos.
- Supongamos que G es el grupo lineal general GL n ( K ) sobre un campo K . Tomamos B como las matrices triangulares superiores, H como las matrices diagonales y N como las matrices monomiales , es decir, matrices con exactamente un elemento distinto de cero en cada fila y columna. Hay n - 1 generadores w i , representados por las matrices obtenidas al intercambiar dos filas adyacentes de una matriz diagonal.
- De manera más general, cualquier grupo de tipo Lie tiene la estructura de un par BN.
- Un grupo algebraico reductivo sobre un campo local tiene un par BN donde B es un subgrupo Iwahori .
Propiedades de grupos con un par BN
El mapa que lleva w a BwB es un isomorfismo del conjunto de elementos de W al conjunto de clases dobles de B ; esta es la descomposición de Bruhat G = BWB .
Si T es un subconjunto de S luego dejar que W ( T ) el subgrupo de W generado por T : definimos y G ( T ) = BW ( T ) B a ser el estándar subgrupo parabólico para T . Los subgrupos de G que contienen conjugados de B son los subgrupos parabólicos ; los conjugados de B se denominan subgrupos de Borel (o subgrupos parabólicos mínimos). Estos son precisamente los subgrupos parabólicos estándar.
Aplicaciones
Los pares BN se pueden utilizar para demostrar que muchos grupos de tipo Lie son simples módulo en sus centros. Más precisamente, si G tiene un par BN tal que B es un grupo solucionable , la intersección de todos los conjugados de B es trivial y el conjunto de generadores de W no se puede descomponer en dos conjuntos de conmutación no vacíos, entonces G es simple siempre que sea un grupo perfecto . En la práctica, todas estas condiciones, salvo que G sea perfecto, son fáciles de comprobar. Verificar que G es perfecto necesita algunos cálculos un poco desordenados (y de hecho, hay algunos pequeños grupos de tipo Lie que no son perfectos). Pero demostrar que un grupo es perfecto suele ser mucho más fácil que demostrarlo.
Referencias
- Bourbaki, Nicolas (2002). Grupos de Lie y álgebras de Lie: Capítulos 4–6 . Elementos de las matemáticas. Saltador. ISBN 3-540-42650-7. Zbl 0983.17001 . La referencia estándar para pares BN.
- Serre, Jean-Pierre (2003). Árboles . Saltador. ISBN 3-540-44237-5. Zbl 1013.20001 .