Triacontagon

Polígono con 30 aristas

Triacontagon regular
Un triacontagon regular
Escribe	Polígono regular
Aristas y vértices	30
Símbolo de Schläfli	{30}, t {15}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetría	Diedro (D 30 ), orden 2 × 30
Ángulo interno ( grados )	168 °
Polígono dual	Uno mismo
Propiedades	Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal

En geometría , un triacontagon o 30-gon es un polígono de treinta lados . La suma de los ángulos interiores de cualquier triacontagon es 5040 grados.

Triacontagon regular

El triacontágono regular es un polígono construible , mediante una bisección de borde de un pentadecágono regular , y también se puede construir como un pentadecágono truncado , t {15}. Un triacontagon truncado , t {30}, es un hexacontagon , {60}.

Un ángulo interior en un triacontagon regular es de 168 grados, lo que significa que un ángulo exterior sería de 12 °. El triacontagón es el polígono regular más grande cuyo ángulo interior es la suma de los ángulos interiores de polígonos más pequeños : 168 ° es la suma de los ángulos interiores del triángulo equilátero (60 °) y el pentágono regular (108 °).

El área de un triacontagon regular es (con t = longitud del borde )

${\displaystyle A={\frac {15}{2}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {15}{2}}t^{2}\left({\sqrt {23+10{\sqrt {5}}+2{\sqrt {3(85+38{\sqrt {5}})}}}}\right)={\frac {15}{4}}t^{2}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

El radio interno de un triacontagon regular es

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{4}}t\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}{\sqrt {25+11{\sqrt {5}}}}\right)}$

El circunradio de un triacontagon regular es

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{30}}={\frac {1}{2}}t\left(2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}\right)}$

Construcción

Triacontagon regular con circunferencia dada

Como 30 = 2 × 3 × 5, un triacontagon regular se puede construir usando un compás y una regla . ^[1]

Simetría

Las simetrías de un triacontagon regular como se muestra con colores en los bordes y vértices. Las líneas de reflejos son azules a través de los vértices y violetas a través de los bordes. Los giros se dan como números en el centro. Los vértices están coloreados por sus posiciones de simetría. Las simetrías de subgrupos están conectadas por líneas de colores, índice 2, 3 y 5.

El triacontagon regular tiene _una simetría diédrica Dih ₃₀ , orden 60, representada por 30 líneas de reflexión. Dih ₃₀ tiene 7 subgrupos diedros: Dih ₁₅ , (Dih ₁₀ , Dih ₅ ), (Dih ₆ , Dih ₃ ) y (Dih ₂ , Dih ₁ ). También tiene ocho simetrías cíclicas más como subgrupos: (Z ₃₀ , Z ₁₅ ), (Z ₁₀ , Z ₅ ), (Z ₆ , Z ₃ ) y (Z ₂ , Z ₁ ), con Z _n representando π /n simetría rotacional en radianes.

John Conway etiqueta estas simetrías inferiores con una letra y el orden de la simetría sigue a la letra. ^[2] Da d (diagonal) con líneas de espejo a través de vértices, p con líneas de espejo a través de aristas (perpendiculares), i con líneas de espejo a través de vértices y aristas, y g para simetría rotacional. a1 etiqueta sin simetría.

Estas simetrías más bajas permiten grados de libertad para definir triacontagones irregulares. Solo el subgrupo g30 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .

Disección

30 gon con 420 rombos

Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. ^[3] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformemente, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el triacontagon regular , m = 15, se puede dividir en 105: 7 conjuntos de 15 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 15 .

Ejemplos de

Triacontagrama

Un triacontagrama es un polígono estelar de 30 lados . Hay 3 formas regulares dadas por los símbolos de Schläfli {30/7}, {30/11} y {30/13}, y 11 figuras de estrellas compuestas con la misma configuración de vértice .

Compuestos y estrellas
Formulario	Compuestos					Polígono estrella	Compuesto
Fotografía	{30/2} = 2 {15}	{30/3} = 3 {10}	{30/4} = 2 {15/2}	{30/5} = 5 {6}	{30/6} = 6 {5}	{30/7}	{30/8} = 2 {15/4}
Angulo interior	156 °	144 °	132 °	120 °	108 °	96 °	84 °
Formulario	Compuestos		Polígono estrella	Compuesto	Polígono estrella	Compuestos
Fotografía	{30/9} = 3 {10/3}	{30/10} = 10 {3}	{30/11}	{30/12} = 6 {5/2}	{30/13}	{30/14} = 2 {15/7}	{30/15} = 15 {2}
Angulo interior	72 °	60 °	48 °	36 °	24 °	12 °	0 °

También hay triacontagramas isogonales construidos como truncamientos más profundos del pentadecágono {15} y del pentadecagrama {15/7} regulares , y los pentadecagramas invertidos {15/11} y {15/13}. Otros truncamientos forman cubiertas dobles: t {15/14} = {30/14} = 2 {15/7}, t {15/8} = {30/8} = 2 {15/4}, t {15 / 4} = {30/4} = 2 {15/4} y t {15/2} = {30/2} = 2 {15}. ^[4]

Compuestos y estrellas
Cuasirregular	Isogonal							Revestimientos dobles cuasirregulares
t {15} = {30}								t {15/14} = 2 {15/7}
t {15/7} = {30/7}								t {15/8} = 2 {15/4}
t {15/11} = {30/11}								t {15/4} = 2 {15/2}
t {15/13} = {30/13}								t {15/2} = 2 {15}

Polígonos de Petrie

El triacontagón regular es el polígono de Petrie para tres politopos de 8 dimensiones con simetría E ₈ , que se muestran en proyecciones ortogonales en el plano E ₈ Coxeter . También es el polígono de Petrie para dos politopos de 4 dimensiones, que se muestra en el plano H ₄ Coxeter .

E 8			H 4
4 21	2 41	1 42	120 celdas	600 celdas

El triacontagrama regular {30/7} es también el polígono de Petrie para el gran gran 120 celdas estrelladas y el gran 600 celdas .

Referencias

1. Polígono construible
2. Las simetrías de las cosas , Capítulo 20
3. Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
4. El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum

• Weisstein, Eric W. "Triacontagon" . MathWorld .
• Nombrar polígonos y poliedros
• triacontagon