Hexateron 5-simplex (hix) | ||
---|---|---|
Tipo | 5 politopos uniformes | |
Símbolo de Schläfli | {3 4 } | |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
4 caras | 6 | 6 {3,3,3}![]() |
Células | 15 | 15 {3,3}![]() |
Caras | 20 | 20 {3}![]() |
Bordes | 15 | |
Vértices | 6 | |
Figura de vértice | ![]() 5 celdas | |
Grupo Coxeter | A 5 , [3 4 ], orden 720 | |
Doble | auto-dual | |
Punto base | (0,0,0,0,0,1) | |
Circumradius | 0,645497 | |
Propiedades | convexo , isogonal regular , auto-dual |
En geometría de cinco dimensiones , un 5- simplex es un 5-politopo regular auto-dual . Tiene seis vértices , 15 aristas , 20 caras de triángulos , 15 celdas tetraédricas y 6 facetas de 5 celdas . Tiene un ángulo diedro de cos −1 ( 1/5), o aproximadamente 78,46 °.
El 5-simplex es una solución al problema: haz 20 triángulos equiláteros con 15 cerillas, donde cada lado de cada triángulo es exactamente una cerilla.
Nombres Alternativos
También se le puede llamar hexateron , o hexa-5-tope , como un politopo de 6 facetas en 5 dimensiones. El nombre hexateron se deriva de hexa- por tener seis facetas y teron (siendo ter- una corrupción de tetra- ) por tener facetas de cuatro dimensiones.
Por Jonathan Bowers, un hexateron recibe el acrónimo hix . [1]
Como configuración
Esta matriz de configuración representa el 5-simplex. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras, celdas y 4 caras. Los números diagonales dicen cuántos de cada elemento ocurren en el 5-simplex completo. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en el mismo. La matriz de este simplex auto-dual es idéntica a su rotación de 180 grados. [2] [3]
Coordenadas cartesianas hexateron regulares
El hexateron se puede construir a partir de 5 celdas agregando un sexto vértice de manera que sea equidistante de todos los demás vértices de la 5 celda.
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un hexateron regular centrado en el origen que tiene una longitud de borde 2 son:
Los vértices del 5-simplex se pueden colocar más simplemente en un hiperplano en el espacio 6 como permutaciones de (0,0,0,0,0,1) o (0,1,1,1,1,1). Estas construcciones pueden verse como facetas del 6-ortoplex o del 6-cubo rectificado respectivamente.
Imágenes proyectadas
Un avión de Coxeter k | A 5 | A 4 |
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Grafico | ![]() | ![]() |
Simetría diedro | [6] | [5] |
Un avión de Coxeter k | A 3 | A 2 |
Grafico | ![]() | ![]() |
Simetría diedro | [4] | [3] |
![]() Proyección estereográfica 4D a 3D del diagrama de Schlegel 5D a 4D de hexateron. |
Formas de simetría inferior
Una forma de simetría más baja es una pirámide de 5 celdas () v {3,3,3}, con [3,3,3] orden de simetría 120, construida como una base de 5 celdas en un hiperplano de 4 espacios , y un vértice punto por encima del hiperplano. Los cinco lados de la pirámide están formados por celdas de 5 celdas. Estos se ven como figuras de vértice de 6 politopos regulares truncados , como un cubo 6 truncado .
Otra forma es {} v {3,3}, con [2,3,3] orden de simetría 48, la unión de un digón ortogonal y un tetraedro, desplazado ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre sí. Otra forma es {3} v {3}, con [3,2,3] orden de simetría 36, y simetría extendida [[3,2,3]], orden 72. Representa la unión de 2 triángulos ortogonales, desplazados ortogonalmente, con todos los pares de vértices conectados entre ellos.
Estos se ven en las figuras de vértice de 6-politopos regulares bitruncados y tritruncados, como un 6-cubo bitruncado y un 6-simplex tritruncado . Las etiquetas de borde aquí representan los tipos de caras a lo largo de esa dirección y, por lo tanto, representan diferentes longitudes de borde.
() v {3,3,3} | {} v {3,3} | {3} v {3} | ||
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![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
truncado 6-simplex![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | truncado de 6 cubos![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | bitruncado 6-simplex![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | bitruncado de 6 cubos![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | tritruncado 6-simplex![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Compuesto
El compuesto de dos 5-simplex en configuraciones duales se puede ver en esta proyección del plano A6 Coxeter , con vértices y aristas de 5-simplex rojo y azul. Este compuesto tiene simetría [[3,3,3,3]], orden 1440. La intersección de estos dos 5-simplex es un 5-simplex birectificado uniforme . =
∩
.
5 politopos uniformes relacionados
Es el primero en una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como serie 1 3k . Existe un caso degenerado de 4 dimensiones como un mosaico de 3 esferas, un hosoedro tetraédrico .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | |||
---|---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [3 1,3,1 ] | [3 2,3,1 ] | [[3 3,3,1 ]] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 23,040 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |
Nombre | 1 3, -1 | 1 30 | 1 31 | 1 32 | 1 33 | 1 34 |
Es el primero en una serie dimensional de politopos uniformes y panales, expresada por Coxeter como una serie 3 k1 . Un caso degenerado de 4 dimensiones existe como mosaico de 3 esferas, un diedro tetraédrico .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | |||
---|---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Grupo Coxeter | A 3 A 1 | A 5 | D 6 | E 7 | = E 7 + | = E 7 ++ |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Simetría | [3 −1,3,1 ] | [3 0,3,1 ] | [[3 1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3] | [3 2,3,1 ] | [3 3,3,1 ] | [3 4,3,1 ] |
Pedido | 48 | 720 | 46,080 | 2.903.040 | ∞ | |
Grafico | ![]() | ![]() | ![]() | - | - | |
Nombre | 3 1, -1 | 3 10 | 3 11 | 3 21 | 3 31 | 3 41 |
El 5-simplex, como politopo 2 20 es el primero en la serie dimensional 2 2k .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||
---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Grupo Coxeter | A 2 A 2 | A 5 | E 6 | = E 6 + | E 6 ++ |
Diagrama de Coxeter | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grafico | ![]() | ![]() | ∞ | ∞ | |
Nombre | 2 2, -1 | 2 20 | 2 21 | 2 22 | 2 23 |
El 5-simplex regular es uno de los 19 polytera uniformes basados en el grupo [3,3,3,3] Coxeter , todos mostrados aquí en proyecciones ortográficas del plano A 5 Coxeter . (Los vértices están coloreados por orden de superposición de proyección, rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, morado teniendo progresivamente más vértices)
Politopos A5 | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() t 0 | ![]() t 1 | ![]() t 2 | ![]() t 0,1 | ![]() t 0,2 | ![]() t 1,2 | ![]() t 0,3 | |||||
![]() t 1,3 | ![]() t 0,4 | ![]() t 0,1,2 | ![]() t 0,1,3 | ![]() t 0,2,3 | ![]() t 1,2,3 | ![]() t 0,1,4 | |||||
![]() t 0,2,4 | ![]() t 0,1,2,3 | ![]() t 0,1,2,4 | ![]() t 0,1,3,4 | ![]() t 0,1,2,3,4 |
Notas
- ^ Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 5D (polytera) x3o3o3o3o - hix" .
- ^ Coxeter 1973 , §1.8 Configuraciones
- ^ Coxeter, HSM (1991). Politopos complejos regulares (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 117. ISBN 9780521394901.
Referencias
- Gosset, T. (1900). "Sobre las figuras regulares y semi-regulares en el espacio de n dimensiones". Mensajero de las Matemáticas . Macmillan. págs. 43–.
- Coxeter, HSM :
- - (1973). "Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n≥5)". Politopos regulares (3ª ed.). Dover. págs. 296 . ISBN 0-486-61480-8.
- Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Caleidoscopios: Escritos seleccionados de HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
- (Documento 22) - (1940). "Politopos regulares y semi regulares I" . Matemáticas. Zeit . 46 : 380–407. doi : 10.1007 / BF01181449 . S2CID 186237114 .
- (Documento 23) - (1985). "Politopos II Regulares y Semirregulares" . Matemáticas. Zeit . 188 (4): 559–591. doi : 10.1007 / BF01161657 . S2CID 120429557 .
- (Documento 24) - (1988). "Politopos III Regular y Semi-Regular" . Matemáticas. Zeit . 200 : 3–45. doi : 10.1007 / BF01161745 . S2CID 186237142 .
- Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strass, Chaim (2008). "26. Hemicubos: 1 n1 ". Las simetrías de las cosas . pag. 409. ISBN 978-1-56881-220-5.
- Johnson, Norman (1991). "Politopos uniformes" (manuscrito). Cite journal requiere
|journal=
( ayuda )- Johnson, NW (1966). La teoría de politopos uniformes y panales (PhD). Universidad de Toronto.
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Símplex" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Politopos de varias dimensiones , Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional
Familia | Un n | B n | Yo 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Policoron uniforme | Pentacoron | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5 simplex | 5-ortoplex • 5-cubo | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplejo • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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