5-simplex (hexateron) | 5-ortoplex , 2 11 (Pentacross) | 5 cubos (Penteract) |
5 simplex ampliado | 5-ortoplex rectificado | 5-demicube . 1 21 (Demipenteract) |
En cinco dimensiones geometría , un politopo de cinco dimensiones o 5-politopo es una 5-dimensional politopo , delimitada por facetas (4-polytope). Cada celda poliédrica es compartida por exactamente dos facetas de 4 politopos .
Definición
Un politopo 5 es una figura cerrada de cinco dimensiones con vértices , aristas , caras y celdas , y 4 caras . Un vértice es un punto donde se encuentran cinco o más aristas. Una arista es un segmento de línea donde se encuentran cuatro o más caras y una cara es un polígono donde se encuentran tres o más celdas. Una celda es un poliedro y una de 4 caras es un politopo de 4 . Además, se deben cumplir los siguientes requisitos:
- Cada celda debe unir exactamente dos 4 caras.
- Las 4 caras adyacentes no están en el mismo hiperplano de cuatro dimensiones .
- La figura no es una combinación de otras figuras que cumplan los requisitos.
Caracteristicas
La topología de cualquier 5-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [1]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números Betti más sofisticados. [1]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [1]
Clasificación
Los 5-politopos pueden clasificarse basándose en propiedades como " convexidad " y " simetría ".
- Un 5-politopo es convexo si su límite (incluidas sus celdas, caras y bordes) no se interseca y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 5-politopo está contenido en el 5-politopo o su interior; de lo contrario, no es convexo . Los 5-politopos auto-intersectantes también se conocen como politopos en estrella , por analogía con las formas en estrella de los poliedros no convexos de Kepler-Poinsot .
- Un 5-politopo uniforme tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes, y sus facetas son 4-politopos uniformes . Las caras de un politopo uniforme deben ser regulares .
- Un 5-politopo semi-regular contiene dos o más tipos de facetas regulares de 4-politopo. Solo hay una figura de este tipo, llamada demipenteract .
- Un 5-politopo regular tiene todas las facetas idénticas de 4 politopos regulares. Todos los 5 politopos regulares son convexos.
- Un 5-politopo prismático se construye mediante un producto cartesiano de dos politopos de menor dimensión. Un 5-politopo prismático es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de un cuadrado y un cubo ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
- Una teselación de 4 espacios es la división del espacio euclidiano de cuatro dimensiones en una cuadrícula regular de facetas policorales. Estrictamente hablando, las teselaciones no son politopos ya que no unen un volumen "5D", pero las incluimos aquí en aras de la integridad porque son similares en muchos aspectos a los politopos. Una teselación uniforme de 4 espacios es aquella cuyos vértices están relacionados por un grupo espacial y cuyas facetas son 4 politopos uniformes.
5 politopos regulares
Los 5-politopos regulares se pueden representar mediante el símbolo de Schläfli {p, q, r, s}, con s {p, q, r} facetas policorales alrededor de cada cara .
Hay exactamente tres de estos 5 politopos regulares convexos :
- {3,3,3,3} - 5-simplex
- {4,3,3,3} - 5 cubos
- {3,3,3,4} - 5-ortoplex
Para los 3 politopos regulares convexos y los tres politopos 5 semirregulares, sus elementos son:
Nombre | Símbolo (s) de Schläfli | Diagrama (s) de Coxeter | Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | Simetría ( orden ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5-simplex | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | A 5 , (120) | |
5 cubos | {4,3,3,3} | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 5 aC , (3820) | |
5-ortoplex | {3,3,3,4} {3,3,3 1,1 } | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 | BC 5 , (3840) 2 × D 5 |
5 politopos uniformes
Para tres de los 5 politopos semirregulares, sus elementos son:
Nombre | Símbolo (s) de Schläfli | Diagrama (s) de Coxeter | Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | Simetría ( orden ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5 simplex ampliado | t 0,4 {3,3,3,3} | 30 | 120 | 210 | 180 | 162 | 2 × A 5 , (240) | |
5-demicubo | {3,3 2,1 } h {4,3,3,3} | dieciséis | 80 | 160 | 120 | 26 | D 5 , (1920) ½BC 5 | |
5-ortoplex rectificado | t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 } | 40 | 240 | 400 | 240 | 42 | BC 5 , (3840) 2 × D 5 |
El 5-simplex expandido es la figura del vértice del panal uniforme de 5-simplex ,. El panal de 5 semicubos ,, la figura del vértice es un 5-ortoplex rectificado y las facetas son el 5-ortoplex y el 5-demicubo .
Pirámides
Los 5-politopos piramidales, o 5-pirámides , pueden ser generados por una base de 4 politopos en un hiperplano de 4 espacios conectado a un punto fuera del hiperplano. El 5-simplex es el ejemplo más simple con una base de 4-simplex.
Ver también
- Lista de politopos regulares # Politopos regulares de cinco dimensiones y superiores
Referencias
- ↑ a b c Richeson, D .; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- T.Gosset : Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones , Messenger of Mathematics , Macmillan, 1900
- A. Boole Stott : deducción geométrica de semirregular de politopos regulares y rellenos espaciales , Verhandelingen de la academia Koninklijke van Wetenschappen unidad de ancho Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller: Poliedros uniformes , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3 a 45]
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "Politopos uniformes 5D (polytera)" .
enlaces externos
- Politopos de varias dimensiones , Jonathan Bowers
- Politera uniforme , Jonathan Bowers
- Glosario multidimensional , Garrett Jones
Familia | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Politopo uniforme 4 | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5-simplex | 5 ortoplex • 5 cubos | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplex • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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