n-esfera

En matemáticas , una n - esfera es un espacio topológico que es homeomorfo a una n - esfera estándar , que es el conjunto de puntos en ( n + 1) espacio euclidiano dimensional que están situados a una distancia constante r de un punto fijo, llamado el centro . Es la generalización de una esfera ordinaria en el espacio tridimensional ordinario . El "radio" de una esfera es la distancia constante de sus puntos al centro. Cuando la esfera tiene radio unitario, es habitual llamarlala unidad n -esfera o simplemente la n -esfera por brevedad. En términos de la norma estándar , la n -esfera se define como

La dimensión de la n -esfera es n , y no debe confundirse con la dimensión ( n + 1) del espacio euclidiano en el que está incrustada naturalmente . Una n - esfera es la superficie o el límite de una bola ( n + 1) -dimensional .

Para n ≥ 2 , las n - esferas que son variedades diferenciales se pueden caracterizar ( hasta un difeomorfismo ) como las variedades n -dimensionales simplemente conectadas de curvatura positiva constante . Las n -esferas admiten varias otras descripciones topológicas: por ejemplo, pueden construirse pegando dos espacios euclidianos n -dimensionales, identificando el límite de un n - cubo con un punto, o (inductivamente) formando la suspensión de un ( norte − 1)-esfera. La 1-esfera es la 1-variedad que es un círculo, que no es simplemente conexo. La esfera 0 es la variedad 0 que consta de dos puntos, que ni siquiera está conectado.

Para cualquier número natural n , una n -esfera de radio r se define como el conjunto de puntos en ( n + 1) espacio euclidiano dimensional que están a una distancia r de algún punto fijo c , donde r puede ser cualquier número real positivo y donde c puede ser cualquier punto en ( n + 1) -espacio dimensional. En particular:

El conjunto de puntos en ( n + 1) -espacio, ( x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) , que definen una n -esfera, , está representado por la ecuación:${\ estilo de visualización S ^ {n} (r)}$

La n - esfera anterior existe en un espacio euclidiano ( n + 1) -dimensional y es un ejemplo de una n - variedad . La forma de volumen ω de una n -esfera de radio r viene dada por

Estructura alámbrica de 2 esferas como proyección ortogonal

Así como una proyección estereográfica puede proyectar la superficie de una esfera a un plano, también puede proyectar una esfera tridimensional en un espacio tridimensional. Esta imagen muestra tres direcciones de coordenadas proyectadas en 3 espacios: paralelos (rojo), meridianos (azul) e hipermeridianos (verde). Debido a la propiedad conforme de la proyección estereográfica, las curvas se cruzan ortogonalmente (en los puntos amarillos) como en 4D. Todas las curvas son círculos: las curvas que intersecan ⟨0,0,0,1⟩ tienen un radio infinito (= línea recta).

Gráficos de volúmenes (V) y áreas de superficie (S) de n -bolas de radio 1. En [1] , desplace el cursor sobre un punto para resaltarlo y su valor. Tenga en cuenta que debería ser en su lugar.${\displaystyle V_{15}}$${\ estilo de visualización 256 \ pi ^ {7}/2027025}$

n se refiere a la dimensión del espacio euclidiano ambiental, que también es la dimensión intrínseca del sólido cuyo volumen se enumera aquí, pero que es 1 más que la dimensión intrínseca de la esfera cuya superficie se enumera aquí. Las flechas rojas curvas muestran la relación entre fórmulas para diferentes n . El coeficiente de fórmula en la punta de cada flecha es igual al coeficiente de fórmula en la cola de esa flecha multiplicado por el factor en la punta de flecha (donde n en la punta de flecha se refiere al valor n al que apunta la punta de flecha). Si se invirtiera la dirección de las flechas inferiores, sus puntas de flecha dirían que se multiplique por 2π / n − 2 . Dicho de otra manera, el área de la superficie S_{n +1} de la esfera en n + 2dimensiones es exactamente2 π R veces el volumen V _n encerrado por la esfera en n dimensiones.

Un conjunto de puntos distribuidos uniformemente en la superficie de una unidad 2-esfera generada usando el algoritmo de Marsaglia.