En matemáticas, los ATS teorema es el teorema de la una pproximation de un t rigonometric s um por una más corta. La aplicación del teorema ATS en determinados problemas de física matemática y teórica puede resultar de gran ayuda.
Historia del problema
En algunos campos de las matemáticas y la física matemática , las sumas de la forma
están en estudio.
Aquí y son funciones de valor real de un argumento real, y Tales sumas aparecen, por ejemplo, en la teoría de números en el análisis de la función zeta de Riemann , en la solución de problemas relacionados con puntos enteros en los dominios en el plano y en el espacio, en el estudio de la serie de Fourier y en la solución de ecuaciones diferenciales como la ecuación de onda , la ecuación de potencial, la ecuación de conductividad térmica .
Euler y Poisson ya estudiaron el problema de la aproximación de la serie (1) mediante una función adecuada .
Definiremos la longitud de la suma ser el numero (para los enteros y este es el número de sumandos en ).
Bajo ciertas condiciones en y la suma puede ser sustituido con buena precisión por otra suma
donde la longitud es mucho menos que
Primeras relaciones de la forma
dónde son las sumas (1) y (2) respectivamente, es un término restante, con funciones concretas y fueron obtenidos por GH Hardy y JE Littlewood , [1] [2] [3] cuando dedujeron la ecuación funcional aproximada para la función zeta de Riemanny por IM Vinogradov , [4] en el estudio de las cantidades de puntos enteros en los dominios en el plano. En forma general, el teorema fue probado por J. Van der Corput , [5] [6] (en los resultados recientes relacionados con el teorema de Van der Corput se puede leer en [7] ).
En cada uno de los trabajos antes mencionados, algunas restricciones en las funciones y se impusieron. Con restricciones convenientes (para aplicaciones) en y el teorema fue probado por AA Karatsuba en [8] (ver también, [9] [10] ).
Ciertas notaciones
[1]. Para o el record
- significa que existen las constantes
- y
- tal que
[2]. Por un número real el record significa que
- dónde
- es la parte fraccionaria de
Teorema de ATS
Sean las funciones reales ƒ ( x ) y satisfacer en el segmento [ a , b ] las siguientes condiciones:
1) y son continuos;
2) existen números y tal que
- y
Entonces, si definimos los números de la ecuación
tenemos
dónde
La variante más simple del teorema formulado es el enunciado, que en la literatura se denomina lema de Van der Corput .
Lema de Van der Corput
Dejar ser una función diferenciable real en el intervalo además, dentro de este intervalo, su derivada es una función monótona y conservadora de signos, y para la constante tal que satisface la desigualdad Luego
dónde
Observación
Si los parámetros y son enteros, entonces es posible sustituir la última relación por las siguientes:
dónde
Sobre las aplicaciones de ATS a los problemas de la física, ver; [11] [12] ver también ,. [13] [14]
Notas
- ^ Hardy, GH; Littlewood, JE (1914). "Algunos problemas de aproximación diofántica: Parte II. La serie trigonométrica asociada con las funciones ϑ elípticas" . Acta Mathematica . Prensa Internacional de Boston. 37 : 193-239. doi : 10.1007 / bf02401834 . ISSN 0001-5962 .
- ^ Hardy, GH; Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y la teoría de la distribución de primos" . Acta Mathematica . Prensa Internacional de Boston. 41 : 119-196. doi : 10.1007 / bf02422942 . ISSN 0001-5962 .
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