En álgebra abstracta , la conjetura de Abhyankar es una conjetura de 1957 de Shreeram Abhyankar , sobre los grupos de Galois de campos de función algebraica de característica p . [1] El caso soluble fue resuelto por Serre en 1990 [2] y la conjetura completa fue probada en 1994 por el trabajo de Michel Raynaud y David Harbater . [3] [4] [5]
El problema involucra un grupo finito G , un número primo p , y el campo de función K (C) de una curva algebraica integral no singular C definida sobre un campo K algebraicamente cerrado de característica p .
La pregunta aborda la existencia de una extensión de Galois L de K ( C ), con G como grupo de Galois, y con ramificación especificada . Desde un punto de vista geométrico, L corresponde a otra curva C ′, junto con un morfismo
- π: C '→ C .
Geométricamente, la afirmación de que π está ramificado en un conjunto finito S de puntos en C significa que π restringido al complemento de S en C es un morfismo étale . Esto está en analogía con el caso de las superficies de Riemann . En la conjetura de Abhyankar, S es fijo y la pregunta es qué puede ser G. Este es, por tanto, un tipo especial de problema de Galois inverso .
El subgrupo p ( G ) se define como el subgrupo generado por todos los subgrupos de Sylow de G para el número primo p . Este es un subgrupo normal , y el parámetro n se define como el número mínimo de generadores de
- G / p ( G ).
Entonces, para el caso de C, la línea proyectiva sobre K , la conjetura establece que G se puede realizar como un grupo de Galois de L , sin ramificar fuera de S que contiene s + 1 puntos, si y solo si
- n ≤ s .
Esto fue probado por Raynaud.
Para el caso general, demostrado por Harbater, deja que g sea el género de C . Entonces G se puede realizar si y solo si
- n ≤ s + 2 g .
Referencias
- ^ Abhyankar, Shreeram (1957), "Cubiertas de curvas algebraicas", American Journal of Mathematics , 79 (4): 825–856, doi : 10.2307 / 2372438.
- ^ Serre, Jean-Pierre (1990), "Construction de revêtements étales de la droite affine en caractéristique p", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés), 311 (6): 341–346, Zbl 0726.14021
- ^ Raynaud, Michel (1994), "Revêtements de la droite affine en caractéristique p> 0", Inventiones Mathematicae , 116 (1): 425–462, Bibcode : 1994InMat.116..425R , doi : 10.1007 / BF01231568 , Zbl 0798.14013.
- ^ Harbater, David (1994), "Conjetura de Abhyankar sobre los grupos de Galois sobre curvas", Inventiones Mathematicae , 117 (1): 1–25, Bibcode : 1994InMat.117 .... 1H , doi : 10.1007 / BF01232232 , Zbl 0805.14014.
- ^ Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008), Aritmética de campo , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 11 (3ª ed.), Springer-Verlag , pág. 70, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Conjetura de Abhyankar" . MathWorld .
- La perspectiva de un profano de la conjetura de Abhyankar de la Universidad de Purdue