En matemáticas , se dice que un subconjunto C de un espacio vectorial real o complejo es absolutamente convexo o en forma de disco si es convexo y equilibrado (algunas personas usan el término "en círculo" en lugar de "equilibrado"), en cuyo caso se llama un disco . El casco en forma de disco o el casco convexo absoluto de un conjunto es la intersección de todos los discos que contienen ese conjunto.
Definición
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Absolute_convex_hull.svg/220px-Absolute_convex_hull.svg.png)
Si es un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo entonces llamamos un disco y decir esoes un disco , absolutamente convexo y convexo equilibrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- es convexo y equilibrado ;
- para cualquier escalar y Si luego ;
- para todos los escalares y Si luego ;
- para cualquier escalar Si luego ;
- para cualquier escalar Si luego ;
Recuerde que el subconjunto convexo (resp. Equilibrado ) más pequeño deque contiene un conjunto se denomina casco convexo (resp. casco equilibrado) de ese conjunto y se denota por (resp. ).
De manera similar, definimos el casco de disco , el casco convexo absoluto o el casco convexo equilibrado de un conjuntose define como el disco más pequeño (con respecto a la inclusión de subconjuntos ) que contiene[1] El casco con discos de será denotado por o y es igual a cada uno de los siguientes conjuntos:
- que es el casco convexo del casco equilibrado de; por lo tanto,;
- Sin embargo, tenga en cuenta que, en general, incluso en dimensiones finitas ,
- la intersección de todos los discos que contienen
- donde el son elementos del campo subyacente .
Condiciones suficientes
Propiedades
- Si es un disco absorbente en un espacio vectorial entonces existe un disco absorbente en tal que [3]
- El casco convexo equilibrado de contiene tanto el casco convexo de y el casco equilibrado de
- El casco absolutamente convexo de un conjunto acotado en un espacio vectorial topológico está nuevamente acotado.
- Si es un disco acotado en un televisor y si es una secuencia en luego las sumas parciales son Cauchy , donde para todos [4]
- En particular, si además es un subconjunto secuencialmente completo de entonces esta serie converge en hasta algún punto de
Ejemplos de
Aunque el casco convexo equilibrado de no es necesariamente igual al casco equilibrado del casco convexo de[1] Para ver un ejemplo donde dejar ser el espacio vectorial real y deja Luego es un subconjunto estricto de que ni siquiera es convexo. En particular, este ejemplo también muestra que el casco equilibrado de un conjunto convexo no es necesariamente convexo. Para ver esto, tenga en cuenta que es igual al cuadrado cerrado en con vértices y tiempo es un subconjunto cerrado en forma de " reloj de arena " que se cruza con el-eje en el origen y es la unión de dos triángulos: uno cuyos vértices son el origen junto con y el otro triángulo cuyos vértices son el origen junto con
Ver también
- Conjunto absorbente : un conjunto que se puede "inflar" para eventualmente incluir siempre un punto determinado en un espacio.
- Conjunto equilibrado : construcción en análisis funcional
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Conjunto convexo : en geometría, conjunto que interseca cada línea en un solo segmento de línea
- Dominio estrella
- Conjunto simétrico
- Vector (geométrico) , para vectores en física
- Campo vectorial : asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano.
Referencias
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 68.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 67-113.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , págs. 149-153.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 471.
Bibliografía
- Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. 53 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 4–6.
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, HH (1999). Espacios vectoriales topológicos . Springer-Verlag Press . pag. 39.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .