Se pueden derivar fórmulas de transformación para aceleraciones ordinarias en tres dimensiones espaciales (aceleración de tres o aceleración coordinada) medidas en un marco de referencia inercial externo , así como para el caso especial de aceleración adecuada medida por un acelerómetro comovivo . Otro formalismo útil es la aceleración de cuatro , ya que sus componentes se pueden conectar en diferentes marcos inerciales mediante una transformación de Lorentz. También se pueden formular ecuaciones de movimiento que conecten la aceleración y la fuerza . Las ecuaciones para varias formas de aceleración de cuerpos y sus líneas de mundo curvas se derivan de estas fórmulas por integración . Los casos especiales bien conocidos son el movimiento hiperbólico para una aceleración adecuada longitudinal constante o un movimiento circular uniforme . Eventualmente, también es posible describir estos fenómenos en marcos acelerados en el contexto de la relatividad especial, ver Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano) . En tales marcos, surgen efectos que son análogos a los campos gravitacionales homogéneos , que tienen algunas similitudes formales con los campos gravitacionales reales, no homogéneos, del espacio-tiempo curvo en la relatividad general. En el caso del movimiento hiperbólico, se pueden usar las coordenadas de Rindler , en el caso del movimiento circular uniforme se pueden usar las coordenadas de Born .
En lo que respecta al desarrollo histórico, las ecuaciones relativistas que contienen aceleraciones ya se pueden encontrar en los primeros años de la relatividad, como se resume en los primeros libros de texto de Max von Laue (1911, 1921) [2] o Wolfgang Pauli (1921). [3] Por ejemplo, las ecuaciones de las transformaciones de movimiento y aceleración se desarrollaron en los artículos de Hendrik Antoon Lorentz (1899, 1904), [H 1] [H 2] Henri Poincaré (1905), [H 3] [H 4] Albert Einstein (1905), [H 5] Max Planck (1906), [H 6] y cuatro aceleraciones, aceleración adecuada, movimiento hiperbólico, marcos de referencia de aceleración, rigidez de Born , han sido analizados por Einstein (1907), [H 7] Hermann Minkowski (1907, 1908), [H 8] [H 9] Max Born (1909), [H 10] Gustav Herglotz (1909), [H 11] [H 12] Arnold Sommerfeld (1910), [H 13] [H 14] von Laue (1911), [H 15] [H 16] Friedrich Kottler (1912, 1914), [H 17] ver sección sobre historia .
Tres aceleraciones
De acuerdo tanto con la mecánica newtoniana como con la SR, aceleración de tres aceleraciones o aceleración coordinada es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo de coordenadas o la segunda derivada de la ubicación con respecto al tiempo coordinado:
.
Sin embargo, las teorías difieren marcadamente en sus predicciones en términos de la relación entre tres aceleraciones medidas en diferentes marcos inerciales. En la mecánica newtoniana, el tiempo es absoluto porde acuerdo con la transformación de Galileo , por lo tanto, las tres aceleraciones derivadas de ella también son iguales en todos los marcos inerciales: [4]
.
Por el contrario en SR, ambos y dependen de la transformación de Lorentz, por lo tanto también de tres aceleraciones y sus componentes varían en diferentes marcos inerciales. Cuando la velocidad relativa entre los fotogramas se dirige en la dirección x por con como factor de Lorentz , la transformación de Lorentz tiene la forma
( 1a )
o para velocidades arbitrarias de magnitud : [5]
( 1b )
Para descubrir la transformación de tres aceleraciones, hay que diferenciar las coordenadas espaciales y de la transformación de Lorentz con respecto a y , a partir de la cual la transformación de tres velocidades (también llamada fórmula de adición de velocidad ) entre y sigue, y eventualmente por otra diferenciación con respecto a y la transformación de tres aceleraciones entre y sigue. A partir de ( 1a ), este procedimiento da la transformación donde las aceleraciones son paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad: [6] [7] [8] [9] [H 4 ] [H 15]
( 1c )
o partiendo de ( 1b ) este procedimiento da el resultado para el caso general de direcciones arbitrarias de velocidades y aceleraciones: [10] [11]
( 1d )
Esto significa que si hay dos marcos inerciales y con velocidad relativa , luego en la aceleración de un objeto con velocidad momentánea se mide, mientras que en el mismo objeto tiene una aceleración y tiene la velocidad momentánea . Al igual que con las fórmulas de adición de velocidad, también estas transformaciones de aceleración garantizan que la velocidad resultante del objeto acelerado nunca pueda alcanzar o superar la velocidad de la luz .
Cuatro aceleraciones
Si se utilizan cuatro vectores en lugar de tres vectores, es decir como cuatro posiciones y como cuatro velocidades , luego las cuatro aceleracionesde un objeto se obtiene por diferenciación con respecto al tiempo adecuado en lugar de coordinar el tiempo: [12] [13] [14]
( 2a )
dónde es la tres aceleración del objeto y su momentánea tres velocidades de magnitud con el factor de Lorentz correspondiente . Si solo se considera la parte espacial, y cuando la velocidad se dirige en la dirección x pory solo se consideran las aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad, la expresión se reduce a: [15] [16]
A diferencia de la aceleración de tres discutida anteriormente, no es necesario derivar una nueva transformación para la aceleración de cuatro, porque al igual que con los cuatro vectores, las componentes de y en dos marcos inerciales con velocidad relativa están conectados por una transformación de Lorentz análoga a ( 1a , 1b ). Otra propiedad de los cuatro vectores es la invariancia del producto interno o su magnitud , que da en este caso: [16] [13] [17]
.
( 2b )
Aceleración adecuada
En duraciones infinitesimales pequeñas siempre hay un marco inercial, que momentáneamente tiene la misma velocidad que el cuerpo acelerado, y en el que se mantiene la transformación de Lorentz. La correspondiente tres aceleraciónen estos fotogramas se puede medir directamente con un acelerómetro, y se denomina aceleración adecuada [18] [H 14] o aceleración en reposo. [19] [H 12] La relación de en un marco inercial momentáneo y medido en un marco inercial externo se sigue de ( 1c , 1d ) con, , y . Entonces, en términos de ( 1c ), cuando la velocidad se dirige en la dirección x pory cuando solo se consideran las aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad, se sigue: [12] [19] [18] [H 1] [H 2] [H 14] [H 12]
( 3a )
Generalizado por ( 1d ) para direcciones arbitrarias de de magnitud : [20] [21] [17]
También existe una estrecha relación con la magnitud de cuatro aceleraciones: como es invariante, se puede determinar en el marco inercial momentáneo , en el cual y por sigue : [19] [12] [22] [H 16]
.
( 3b )
Por tanto, la magnitud de la aceleración de cuatro corresponde a la magnitud de la aceleración propiamente dicha. Combinando esto con ( 2b ), un método alternativo para la determinación de la conexión entre en y en se da, a saber [13] [17]
de donde ( 3a ) se sigue de nuevo cuando la velocidad se dirige en la dirección x por y sólo se consideran las aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad.
Aceleración y fuerza
Suponiendo masa constante , las cuatro fuerzas en función de tres fuerzas está relacionado con cuatro aceleraciones ( 2a ) por, así: [23] [24]
( 4a )
La relación entre tres fuerzas y tres aceleraciones para direcciones arbitrarias de la velocidad es así [25] [26] [23]
( 4b )
Cuando la velocidad se dirige en la dirección x por y solo se consideran las aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad [27] [26] [23] [H 2] [H 6]
( 4c )
Por lo tanto, la definición newtoniana de masa como la relación de tres fuerzas y tres aceleraciones es desventajosa en SR, porque tal masa dependería tanto de la velocidad como de la dirección. En consecuencia, las siguientes definiciones masivas utilizadas en libros de texto más antiguos ya no se utilizan: [27] [28] [H 2]
como "masa longitudinal",
como "masa transversal".
La relación ( 4b ) entre tres aceleraciones y tres fuerzas también se puede obtener de la ecuación de movimiento [29] [25] [H 2] [H 6]
( 4d )
dónde es el impulso de tres. La correspondiente transformación de tres fuerzas entre en y en (cuando la velocidad relativa entre los fotogramas se dirige en la dirección x por y solo se consideran las aceleraciones paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidad) se sigue mediante la sustitución de las fórmulas de transformación relevantes para , , , , o de las componentes transformadas de Lorentz de cuatro fuerzas, con el resultado: [29] [30] [24] [H 3] [H 15]
( 4e )
O generalizado para direcciones arbitrarias de , así como con magnitud : [31] [32]
( 4f )
Aceleración adecuada y fuerza adecuada
La fuerza en un marco de inercia momentáneo medido por un balance de resorte comovivo se puede llamar fuerza propia. [33] [34] Se sigue de ( 4e , 4f ) estableciendo y así como y . Por lo tanto, por ( 4e ) donde solo las aceleraciones son paralelas (dirección x) o perpendiculares (dirección y, z) a la velocidadse consideran: [35] [33] [34]
( 5a )
Generalizado por ( 4f ) para direcciones arbitrarias de de magnitud : [35] [36]
Dado que en los marcos inerciales momentáneos uno tiene cuatro fuerzas y cuatro aceleraciones , la ecuación ( 4a ) produce la relación newtoniana, por lo tanto ( 3a , 4c , 5a ) se puede resumir [37]
( 5b )
Por eso, la aparente contradicción en las definiciones históricas de masa transversal Puede ser explicado. [38] Einstein (1905) describió la relación entre tres aceleraciones y fuerza propia [H 5]
,
mientras que Lorentz (1899, 1904) y Planck (1906) describieron la relación entre tres aceleraciones y tres fuerzas [H 2]
.
Líneas del mundo curvas
Mediante la integración de las ecuaciones de movimiento se obtienen las líneas del mundo curvas de los cuerpos acelerados correspondientes a una secuencia de marcos inerciales momentáneos (aquí, la expresión "curva" se relaciona con la forma de las líneas del mundo en los diagramas de Minkowski, que no deben confundirse con espaciotiempo "curvo" de la relatividad general). En relación con esto, se debe considerar la así llamada hipótesis del reloj del postulado del reloj: [39] [40] El tiempo apropiado de los relojes comoving es independiente de la aceleración, es decir, la dilatación del tiempo de estos relojes como se ve en un exterior. El marco inercial solo depende de su velocidad relativa con respecto a ese marco. Ahora se proporcionan dos casos simples de líneas de mundo curvas mediante la integración de la ecuación ( 3a ) para una aceleración adecuada:
a) Movimiento hiperbólico : la aceleración longitudinal adecuada constantepor ( 3a ) lleva a la línea mundial [12] [18] [19] [25] [41] [42] [H 10] [H 15]
( 6a )
La línea del mundo corresponde a la ecuación hiperbólica , de donde se deriva el nombre de movimiento hiperbólico. Estas ecuaciones se utilizan a menudo para el cálculo de varios escenarios de la paradoja de los gemelos o la paradoja de la nave espacial de Bell , o en relación con los viajes espaciales con aceleración constante .
b) La aceleración propia transversal constante por ( 3a ) puede verse como una aceleración centrípeta , [13] que conduce a la línea de mundo de un cuerpo en rotación uniforme [43] [44]
( 6b )
dónde es la velocidad tangencial , es el radio orbital, es la velocidad angular en función del tiempo de coordenadas, y como la velocidad angular adecuada.
Se puede obtener una clasificación de las líneas de mundo curvas utilizando la geometría diferencial de las curvas triples, que se pueden expresar mediante las fórmulas del espacio-tiempo de Frenet-Serret . [45] En particular, se puede demostrar que el movimiento hiperbólico y el movimiento circular uniforme son casos especiales de movimientos que tienen curvaturas y torsiones constantes , [46] satisfaciendo la condición de rigidez de Born . [H 11] [H 17] Un cuerpo se llama Nacido rígido si la distancia espaciotemporal entre sus líneas de mundo o puntos infinitesimalmente separados permanece constante durante la aceleración.
Marcos de referencia acelerados
En lugar de marcos inerciales, estos movimientos acelerados y líneas de mundo curvas también se pueden describir utilizando coordenadas aceleradas o curvilíneas . El marco de referencia adecuado establecido de esa manera está estrechamente relacionado con las coordenadas de Fermi . [47] [48] Por ejemplo, las coordenadas de un marco de referencia hiperbólicamente acelerado a veces se denominan coordenadas de Rindler , o las de un marco de referencia que gira uniformemente se denominan coordenadas cilíndricas giratorias (o, a veces, coordenadas de Born ). En términos del principio de equivalencia , los efectos que surgen en estos fotogramas acelerados son análogos a los efectos en un campo gravitacional homogéneo y ficticio. De esta manera se puede ver que el empleo de marcos acelerados en SR produce importantes relaciones matemáticas, que (cuando se desarrollan más) juegan un papel fundamental en la descripción de campos gravitacionales reales no homogéneos en términos de espacio-tiempo curvo en relatividad general.
Historia
Para más información ver von Laue, [2] Pauli, [3] Miller, [49] Zahar, [50] Gourgoulhon, [48] y las fuentes históricas en la historia de la relatividad especial .
1899:
Hendrik Lorentz [H 1] derivó el correcto (hasta cierto factor ) relaciones de aceleraciones, fuerzas y masas entre un sistema electrostático de partículas en reposo (en un éter estacionario ), y un sistema emergiendo de él agregando una traducción, con como el factor de Lorentz:
, , por por ( 5a );
, , por por ( 3a );
, , por , por tanto masa longitudinal y transversal por ( 4c );
Lorentz explicó que no tiene forma de determinar el valor de . Si se hubiera puesto , sus expresiones habrían asumido la forma relativista exacta.
1904:
Lorentz [H 2] derivó las relaciones anteriores de una manera más detallada, es decir, con respecto a las propiedades de las partículas que descansan en el sistema. y el sistema en movimiento , con la nueva variable auxiliar igual a comparado con el de 1899, así:
por como una función de por ( 5a );
por como una función de por ( 5b );
por como una función de por ( 3a );
para masa longitudinal y transversal en función de la masa en reposo por ( 4c , 5b ).
Esta vez, Lorentz pudo demostrar que , por lo que sus fórmulas asumen la forma relativista exacta. También formuló la ecuación de movimiento
con
que corresponde a ( 4d ) con , con , , , , , y como masa de reposo electromagnética . Además, argumentó, estas fórmulas no solo deberían ser válidas para fuerzas y masas de partículas cargadas eléctricamente, sino también para otros procesos, de modo que el movimiento de la tierra a través del éter permanezca indetectable.
1905:
Henri Poincaré [H 3] introdujo la transformación de tres fuerzas ( 4e ):
con , y como el factor de Lorentz, la densidad de carga. O en notación moderna: , , , y . Como Lorentz, puso .
1905:
Albert Einstein [H 5] derivó las ecuaciones de los movimientos sobre la base de su teoría especial de la relatividad, que representa la relación entre marcos inerciales igualmente válidos sin la acción de un éter mecánico. Einstein concluyó que en un marco inercial momentáneo las ecuaciones de movimiento conservan su forma newtoniana:
.
Esto corresponde a , porque y y . Por transformación en un sistema relativamente en movimiento obtuvo las ecuaciones para los componentes eléctricos y magnéticos observados en ese marco:
.
Esto corresponde a ( 4c ) con , porque y y y . En consecuencia, Einstein determinó la masa longitudinal y transversal, aunque la relacionó con la fuerza en el marco de descanso momentáneo medido por un balance de resorte comovivo, y a las tres aceleraciones en el sistema : [38]
Esto corresponde a ( 5b ) con .
1905:
Poincaré [H 4] introduce la transformación de tres aceleraciones ( 1c ):
dónde así como y y .
Además, introdujo las cuatro fuerzas en la forma:
dónde y y .
1906:
Max Planck [H 6] derivó la ecuación de movimiento
con
y
y
Las ecuaciones corresponden a ( 4d ) con
, con y y , de acuerdo con los dados por Lorentz (1904).
1907:
Einstein [H 7] analizó un marco de referencia uniformemente acelerado y obtuvo fórmulas para la dilatación del tiempo dependiente de las coordenadas y la velocidad de la luz, análogas a las dadas por las coordenadas de Kottler-Møller- Rindler .
1907:
Hermann Minkowski [H 9] definió la relación entre la fuerza de cuatro (que él llamó la fuerza en movimiento) y la aceleración de cuatro
correspondiente a .
1908:
Minkowski [H 8] denota la segunda derivada con respecto al tiempo propio como "vector de aceleración" (cuatro aceleraciones). Mostró que su magnitud en un punto arbitrario de la línea mundial es , dónde es la magnitud de un vector dirigido desde el centro de la correspondiente "hipérbola de curvatura" ( alemán : Krümmungshyperbel ) a .
1909:
Max Born [H 10] denota el movimiento con magnitud constante del vector de aceleración de Minkowski como "movimiento hiperbólico" (en alemán : Hyperbelbewegung ), en el curso de su estudio del movimiento rígidamente acelerado . Él puso (ahora llamado velocidad adecuada ) y como factor de Lorentz y como tiempo propio, con las ecuaciones de transformación
.
que corresponde a ( 6a ) con y . Eliminando Born derivó la ecuación hiperbólica , y definió la magnitud de la aceleración como . También notó que su transformación puede usarse para transformarse en un "sistema de referencia hiperbólicamente acelerado" ( alemán : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ).
1909:
Gustav Herglotz [H 11] extiende la investigación de Born a todos los casos posibles de movimiento rígidamente acelerado, incluida la rotación uniforme.
1910:
Arnold Sommerfeld [H 13] trajo las fórmulas de Born para el movimiento hiperbólico en una forma más concisa con como la variable de tiempo imaginaria y como un ángulo imaginario:
Notó que cuando son variables y es constante, describen la línea de mundo de un cuerpo cargado en movimiento hiperbólico. Pero si son constantes y es variable, denotan la transformación en su marco de reposo.
1911:
Sommerfeld [H 14] usó explícitamente la expresión "aceleración adecuada" ( alemán : Eigenbeschleunigung ) para la cantidad en , que corresponde a ( 3a ), como la aceleración en el marco inercial momentáneo.
1911:
Herglotz [H 12] utilizó explícitamente la expresión "aceleración en reposo" (en alemán : Ruhbeschleunigung ) en lugar de la aceleración adecuada. Lo escribió en la forma y que corresponde a ( 3a ), donde es el factor de Lorentz y o son los componentes longitudinal y transversal de la aceleración en reposo.
1911:
Max von Laue [H 15] derivó en la primera edición de su monografía "Das Relativitätsprinzip" la transformación para tres aceleraciones por diferenciación de la adición de velocidad
equivalente a ( 1c ) así como a Poincaré (1905/6). De ahí derivó la transformación de la aceleración en reposo (equivalente a 3a ), y eventualmente las fórmulas para el movimiento hiperbólico que corresponde a ( 6a ):
por lo tanto
,
y la transformación en un sistema de referencia hiperbólico con ángulo imaginario :
.
También escribió la transformación de las tres fuerzas como
equivalente a ( 4e ) así como a Poincaré (1905).
1912-1914:
Friedrich Kottler [H 17] obtuvo la covarianza general de las ecuaciones de Maxwell y utilizó fórmulas de Frenet-Serret de cuatro dimensiones para analizar los movimientos rígidos de Born dados por Herglotz (1909). También obtuvo los marcos de referencia adecuados para el movimiento hiperbólico y el movimiento circular uniforme.
1913:
von Laue [H 16] reemplazó en la segunda edición de su libro la transformación de tres aceleraciones por el vector de aceleración de Minkowski para el que acuñó el nombre de "cuatro aceleraciones" ( alemán : Viererbeschleunigung ), definido por con como cuatro velocidades. Mostró que la magnitud de cuatro aceleraciones corresponde a la aceleración en reposo por
,
que corresponde a ( 3b ). Posteriormente, derivó las mismas fórmulas que en 1911 para la transformación de la aceleración en reposo y el movimiento hiperbólico, y el marco de referencia hiperbólico.
Referencias
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↑ a b Freund (2008), p. 276
↑ a b c Møller (1955), págs. 74-75
↑ a b Rindler (1977), págs. 89-90
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^ Kopeikin y Efroimsky y Kaplan (2011), p. 173
↑ a b Shadowitz (1968), p. 101
↑ a b Pfeffer y Nir (2012), p. 115, "En el caso especial en el que la partícula está momentáneamente en reposo con respecto al observador S, la fuerza que mide será la fuerza propia ".
↑ a b Møller (1955), pág. 74
^ Rebhan (1999), p. 818
^ ver las ecuaciones de Lorentz de 1904 y las ecuaciones de Einstein de 1905 en la sección de historia
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enlaces externos
Mathpages: masa transversal en la electrodinámica de Einstein , viajes acelerados , rigidez nativa, aceleración e inercia , ¿irradia una carga de aceleración uniforme?
Preguntas frecuentes sobre física: aceleración en relatividad especial , el cohete relativista