Anillo Adele

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En matemáticas , el anillo de Adele de un campo global (también anillo adelic , anillo de adeles o anillo de adèles ^[1] ) es un objeto central de la teoría de campos de clases , una rama de la teoría algebraica de números . Es el producto restringido de todas las terminaciones del campo global, y es un ejemplo de un anillo topológico auto-dual .

El anillo de adeles permite describir elegantemente la ley de reciprocidad de Artin , que es una vasta generalización de la reciprocidad cuadrática y otras leyes de reciprocidad sobre campos finitos. Además, es un teorema clásico de Weil que los paquetes en una curva algebraica sobre un campo finito se pueden describir en términos de adeles para un grupo reductivo .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Sea un campo global (una extensión finita o el campo de función de una curva X / F _q sobre un campo finito). El anillo de adele es el subanillo${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle K}$

que consiste en las tuplas donde se encuentra en el subanillo para todos, excepto para un número finito de lugares . Aquí, el índice abarca todas las valoraciones del campo global , es la finalización en esa valoración y el anillo de valoración .${\displaystyle (a_{\nu })}$${\displaystyle a_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }\subset K_{\nu }}$ ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{\nu }}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\nu }}$

El anillo de adeles resuelve el problema técnico de "hacer" análisis sobre los números racionales . La solución "clásica" utilizada por la gente antes era pasar a la terminación métrica estándar y usar técnicas analíticas allí. Pero, como se supo más adelante, hay muchos más valores absolutos además de la distancia euclidiana , uno para cada número primo , como fue clasificado por Ostrowski . Dado que el valor absoluto euclidiano, denotado , es solo uno entre muchos otros, el anillo de adeles permite tener un compromiso y utilizar todas las valoraciones a la vez.${\displaystyle \mathbf {Q} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle p\in \mathbf {Z} }$${\displaystyle |\cdot |_{\infty }}$${\displaystyle |\cdot |_{p}}$. Esto tiene la ventaja de tener acceso a técnicas analíticas, al mismo tiempo que retiene información sobre los números primos, ya que su estructura está incrustada por el producto infinito restringido.

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