Itô cálculo

Cálculo de ecuaciones diferenciales estocásticas

Itô integral Y _t ( B ) ( azul ) de un movimiento browniano B ( rojo ) con respecto a sí mismo, es decir, tanto el integrando como el integrador son brownianos. Resulta Y _t ( B ) = (B ² - t ) / 2.

El cálculo de Itô , llamado así por Kiyoshi Itô , extiende los métodos de cálculo a procesos estocásticos como el movimiento browniano (ver proceso de Wiener ). Tiene importantes aplicaciones en finanzas matemáticas y ecuaciones diferenciales estocásticas .

El concepto central es la integral estocástica de Itô, una generalización estocástica de la integral de Riemann-Stieltjes en análisis. Los integrandos y los integradores ahora son procesos estocásticos:

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

donde H es un proceso localmente integrable al cuadrado adaptado a la filtración generada por X ( Revuz & Yor 1999 , Capítulo IV), que es un movimiento browniano o, más generalmente, una semimartingala . El resultado de la integración es entonces otro proceso estocástico. Concretamente, la integral de 0 a cualquier t particular es una variable aleatoria, definido como un límite de una determinada secuencia de variables aleatorias. Las trayectorias del movimiento browniano no satisfacen los requisitos para poder aplicar las técnicas estándar de cálculo. Entonces, con el integrando un proceso estocástico, la integral estocástica de Itô equivale a una integral con respecto a una función que no es diferenciable en ningún punto y tiene una variación infinita en cada intervalo de tiempo. La idea principal es que la integral se puede definir siempre que se adapte el integrando H , lo que en términos generales significa que su valor en el momento t solo puede depender de la información disponible hasta ese momento. En términos generales, se elige una secuencia de particiones del intervalo de 0 a t y se construyeRiemann suma . Cada vez que calculamos una suma de Riemann, utilizamos una instanciación particular del integrador. Es crucial qué punto de cada uno de los intervalos pequeños se usa para calcular el valor de la función. Entonces, el límite se toma en probabilidad ya que la malla de la partición va a cero. Se deben tener en cuenta numerosos detalles técnicos para demostrar que este límite existe y es independiente de la secuencia particular de particiones. Normalmente, se utiliza el extremo izquierdo del intervalo.

Los resultados importantes del cálculo de Itô incluyen la fórmula de integración por partes y el lema de Itô , que es una fórmula de cambio de variables . Estos difieren de las fórmulas del cálculo estándar, debido a los términos de variación cuadrática .

En finanzas matemáticas , la estrategia de evaluación descrita de la integral se conceptualiza como que primero estamos decidiendo qué hacer y luego observando el cambio en los precios. El integrando es la cantidad de acciones que tenemos, el integrador representa el movimiento de los precios y la integral es la cantidad de dinero que tenemos en total, incluido el valor de nuestras acciones, en un momento dado. Los precios de las acciones y otros activos financieros negociados pueden modelarse mediante procesos estocásticos como el movimiento browniano o, más a menudo, el movimiento browniano geométrico (ver Black-Scholes ). Entonces, la integral estocástica de Itô representa la recompensa de una estrategia de negociación en tiempo continuo que consiste en mantener una cantidad H _t de la acción en el tiempo t. En esta situación, la condición de que H se adapte corresponde a la restricción necesaria de que la estrategia comercial solo puede hacer uso de la información disponible en cualquier momento. Esto evita la posibilidad de ganancias ilimitadas a través del comercio de alta frecuencia : comprar las acciones justo antes de cada repunte en el mercado y vender antes de cada repunte. De manera similar, la condición de que H esté adaptada implica que la integral estocástica no divergerá cuando se calcule como un límite de las sumas de Riemann ( Revuz y Yor 1999 , Capítulo IV).

Notación

El proceso Y definido antes como

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H\,dX\equiv \int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

es en sí mismo un proceso estocástico con parámetro de tiempo t , que a veces también se escribe como Y = H · X ( Rogers & Williams 2000 ). Alternativamente, la integral se escribe a menudo en forma diferencial dY = H dX , lo que equivale a Y  -  Y ₀ =  H  ·  X . Como Itô cálculo se ocupa de los procesos estocásticos de tiempo continuo, se supone que un subyacente espacio de probabilidad filtrado se da

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} ).}$

El σ-álgebra F _t representa la información disponible hasta el momento t , y un proceso X se adapta si X _t es F _t medible. Se entiende que un movimiento browniano B es un movimiento browniano F _t -browniano, que es simplemente un movimiento browniano estándar con las propiedades de que B _t es F _t -medible y que B _{t + s}  -  B _t es independiente de F _t para todos los s , t  ≥ 0 (Revuz y Yor 1999 ).

Integración con respecto al movimiento browniano

La integral de Itô se puede definir de manera similar a la integral de Riemann-Stieltjes , es decir, como un límite en la probabilidad de las sumas de Riemann ; tal límite no existe necesariamente en el sentido de la ruta. Supongamos que B es un proceso de Wiener (movimiento browniano) y que H es un proceso continuo por la derecha ( càdlàg ), adaptado y acotado localmente. Si es una secuencia de particiones de [0,  t ] con malla que va a cero, entonces la integral Itô de H con respecto a B hasta el tiempo t es una${\displaystyle \{\pi _{n}\}}$variable aleatoria

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{[t_{i-1},t_{i}]\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}}).}$

Se puede demostrar que este límite converge en probabilidad .

Para algunas aplicaciones, como los teoremas de representación de martingala y las horas locales , la integral es necesaria para procesos que no son continuos. Los procesos predecibles forman la clase más pequeña que está cerrada bajo límites de secuencias y contiene todos los procesos continuos izquierdos adaptados. Si H es un proceso predecible tal que ∫ ₀ ^t  H ²  ds  <∞ para todo t  ≥ 0, entonces se puede definir la integral de H con respecto a B , y se dice que H es B -integrable. Cualquiera de estos procesos puede aproximarse mediante una secuencia H_n de procesos continuos a la izquierda, adaptados y delimitados localmente, en el sentido de que

${\displaystyle \int _{0}^{t}(H-H_{n})^{2}\,ds\to 0}$

en probabilidad. Entonces, la integral de Itô es

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dB=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{t}H_{n}\,dB}$

donde, nuevamente, se puede demostrar que el límite converge en probabilidad. La integral estocástica satisface la isometría de Itô

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}\,dB_{s}\right)^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right]}$

que se cumple cuando H está acotado o, más generalmente, cuando la integral del lado derecho es finita.

Itô procesos

Una sola realización del proceso Itô con μ = 0 y σ = ψ (t-5), donde ψ es la ondícula de Ricker . Fuera de la marea de wavelet, el movimiento del proceso de Itô es estable.

Un proceso Itô se define como un proceso estocástico adaptado que puede expresarse como la suma de una integral con respecto al movimiento browniano y una integral con respecto al tiempo,

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds.}$

Aquí, B es un movimiento browniano y se requiere que σ sea un proceso B -integrable predecible , y μ sea predecible y ( Lebesgue ) integrable. Es decir,

${\displaystyle \int _{0}^{t}(\sigma _{s}^{2}+|\mu _{s}|)\,ds<\infty }$

por cada t . La integral estocástica se puede extender a tales procesos Itô,

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\int _{0}^{t}H_{s}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}H_{s}\mu _{s}\,ds.}$

Esto se define para todos los integrandos predecibles y delimitados localmente. De manera más general, se requiere que H σ sea B -integrable y H μ sea Lebesgue integrable, de modo que

${\displaystyle \int _{0}^{t}(H^{2}\sigma ^{2}+|H\mu |)ds<\infty .}$

Tales procesos predecibles H se denominan X -integrables.

Un resultado importante para el estudio de los procesos de Itô es el lema de Itô . En su forma más simple, para cualquier función f dos veces continuamente diferenciable en los reales y el proceso de Itô X como se describió anteriormente, establece que f ( X ) es en sí mismo un proceso de Itô que satisface

${\displaystyle df(X_{t})=f^{\prime }(X_{t})\,dX_{t}+{\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }(X_{t})\sigma _{t}^{2}\,dt.}$

Esta es la versión de cálculo estocástico de la fórmula de cambio de variables y la regla de la cadena . Se diferencia del resultado estándar debido al término adicional que involucra la segunda derivada de f , que proviene de la propiedad de que el movimiento browniano tiene una variación cuadrática distinta de cero .

Semimartingales como integradores

La integral Itô se define con respecto a un semimartingale X . Estos son procesos que se pueden descomponer como X  =  M  +  A para una martingala local de M y variación finita proceso  A . Ejemplos importantes de tales procesos incluyen el movimiento browniano , que es una martingala , y los procesos de Lévy . Para un proceso H continuo por la izquierda, acotado localmente y adaptado , existe la integral H  ·  X , y puede calcularse como un límite de sumas de Riemann. Sea π _n una secuencia departiciones de [0,  t ] con malla a cero,

${\displaystyle \int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).}$

Este límite converge en probabilidad. La integral estocástica de los procesos continuos a la izquierda es lo suficientemente general para estudiar gran parte del cálculo estocástico. Por ejemplo, es suficiente para aplicaciones del Lema de Itô, cambios de medida a través del teorema de Girsanov y para el estudio de ecuaciones diferenciales estocásticas . Sin embargo, es inadecuado para otros temas importantes como los teoremas de representación de martingala y la hora local .

La integral se extiende a todos los integrandos predecibles y localmente limitados, de una manera única, de manera que se cumple el teorema de convergencia dominado . Es decir, si H _n  →; H y | H _n | ≤  J para un proceso J delimitado localmente  , entonces

${\displaystyle \int _{0}^{t}H_{n}dX\to \int _{0}^{t}HdX,}$

en probabilidad. La unicidad de la extensión de integrandos continuos a la izquierda a predecibles es el resultado del lema de clase monótono .

En general, la integral estocástica H  ·  X se puede definir incluso en los casos en que el proceso predecible H no está acotado localmente. Si K  = 1 / (1 + | H |) entonces K y KH están acotados. Asociatividad de integración estocástica implica que H es X -integrable, con integral H  ·  X =  Y , si y sólo si Y ₀  = 0 y K  ·  Y = ( KH ) ·  X . El conjunto de X-procesos integrables se denota por L ( X ).

Propiedades

Las siguientes propiedades se pueden encontrar en obras como ( Revuz & Yor 1999 ) y ( Rogers & Williams 2000 ):

• La integral estocástica es un proceso càdlàg . Además, es una semimartingala .
• Las discontinuidades de la integral estocástica vienen dadas por los saltos del integrador multiplicado por el integrando. El salto de un proceso càdlàg en un tiempo t es X _t  -  X _t− , y a menudo se denota por Δ X _t . Con esta notación, Δ ( H  ·  X ) =  H Δ X . Una consecuencia particular de esto es que las integrales con respecto a un proceso continuo son siempre ellas mismas continuas.
• Asociatividad . Sean J , K procesos predecibles y K sea X -integrable. Entonces, J es K  ·  X integrable si y solo si JK es X integrable, en cuyo caso

  ${\displaystyle J\cdot (K\cdot X)=(JK)\cdot X}$

• Convergencia dominada . Suponga que H _n → H y | H _n | ≤ J , donde J es unproceso X -integrable. entonces H _n  ·  X →  H  ·  X . La convergencia está en probabilidad en cada tiempo  t . De hecho, converge uniformemente en conjuntos compactos de probabilidad.
• La integral estocástica conmuta con la operación de tomar covariaciones cuadráticas. Si X e Y son semimartingales, entonces cualquier proceso X -integrable también será [ X ,  Y ] -integrable, y [ H  ·  X ,  Y ] = H  · [ X ,  Y ]. Una consecuencia de esto es que el proceso de variación cuadrática de una integral estocástica es igual a una integral de un proceso de variación cuadrática,

  ${\displaystyle [H\cdot X]=H^{2}\cdot [X]}$

Integración por partes

Al igual que con el cálculo ordinario, la integración por partes es un resultado importante en el cálculo estocástico. La fórmula de integración por partes para la integral Itô difiere del resultado estándar debido a la inclusión de un término de covariación cuadrático . Este término proviene del hecho de que el cálculo de Itô trata con procesos con variación cuadrática distinta de cero, que solo ocurre para procesos de variación infinita (como el movimiento browniano). Si X e Y son semimartingales, entonces

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t}}$

donde [ X ,  Y ] es el proceso de covariación cuadrático.

El resultado es similar al teorema de integración por partes para la integral de Riemann-Stieltjes pero tiene un término de variación cuadrática adicional .

El lema de Itô

Artículo principal: Lema de Itô

El lema de Itô es la versión de la regla de la cadena o fórmula de cambio de variables que se aplica a la integral de Itô. Es uno de los teoremas más poderosos y más utilizados en cálculo estocástico. Para una semimartingala n- dimensional continua X = ( X ¹ , ..., X ⁿ ) y una función f dos veces continuamente diferenciable de R ⁿ a R , establece que f ( X ) es una semimartingala y,

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

Esto difiere de la regla de la cadena utilizada en el cálculo estándar debido al término que involucra la covariación cuadrática [ X ⁱ , X ^j  ]. La fórmula se puede generalizar a semimartingalas no continuas agregando un término de salto puro para asegurar que los saltos de los lados izquierdo y derecho coincidan (ver el lema de Itô ).

Integradores de martingala

Martingalas locales

Una propiedad importante de Itô integral es que conserva la propiedad de martingala local . Si M es una martingala local y H es un proceso predecible delimitado localmente, H  ·  M también es una martingala local. Para integrandos que no están delimitados localmente, hay ejemplos en los que H  ·  M no es una martingala local. Sin embargo, esto solo puede ocurrir cuando M no es continuo. Si M es una martingala local continua, entonces un proceso predecible H es M -integrable si y solo si

${\displaystyle \int _{0}^{t}H^{2}d[M]<\infty ,}$

para cada t , y H  ·  M es siempre una martingala local.

La afirmación más general para una martingala local discontinua M es que si ( H ²  · [ M ]) ^1/2 es localmente integrable, entonces H  ·  M existe y es una martingala local.

Martingalas cuadradas integrables

Para integrandos acotados, la integral estocástica Itô conserva el espacio de martingalas integrables cuadradas , que es el conjunto de càdlàg martingales M tal que E [ M _t ² ] es finito para todo t . Para cualquier martingala cuadrada integrable M , el proceso de variación cuadrática [ M ] es integrable, y la isometría de Itô establece que

${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right].}$

Esta igualdad se aplica de manera más general a cualquier martingala M tal que H ²  · [ M ] _t sea ​​integrable. La isometría Itô se utiliza a menudo como un paso importante en la construcción de la integral estocástica, al definir H  ·  M como la extensión única de esta isometría de una cierta clase de integrandos simples a todos los procesos predecibles y delimitados.

p -Martingalas integrales

Para cualquier p  > 1, e integrando predecible acotado, la integral estocástica preserva el espacio de p- martingalas integrables. Estos son càdlàg martingalas tales que E (| M _t | ^p ) es finito para todo  t . Sin embargo, esto no siempre es cierto en el caso en el que p  = 1. Hay ejemplos de integrales de procesos predecibles acotados con respecto a las martingalas que no son en sí mismas martingalas.

El proceso máximo de un proceso de càdlàg M se escribe como M * _t = sup _{s  ≤ t}  | M _s |. Para cualquier p  ≥ 1 e integrando predecible acotado, la integral estocástica conserva el espacio de càdlàg martingales M tal que E [( M * _t ) ^p ] es finito para todo t . Si p  > 1 entonces esto es lo mismo que el espacio de p- martingalas integrables, por las desigualdades de Doob .

Las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy establecen que, para cualquier p  ≥ 1, existen constantes positivas  c ,  C que dependen de  p , pero no de M o de t tales que

${\displaystyle c\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]\leq \mathbb {E} \left[(M_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[[M]_{t}^{\frac {p}{2}}\right]}$

para todos càdlàg martingalas locales M . Estos se utilizan para mostrar que si ( M * _t ) ^p es integrable y H es un proceso predecible acotado, entonces

${\displaystyle \mathbb {E} \left[((H\cdot M)_{t}^{*})^{p}\right]\leq C\mathbb {E} \left[(H^{2}\cdot [M]_{t})^{\frac {p}{2}}\right]<\infty }$

y, en consecuencia, H  ·  M es una martingala p -integrable. De manera más general, esta afirmación es verdadera siempre que ( H ²  · [ M ]) ^{p / 2} sea ​​integrable.

Existencia de la integral

Las pruebas de que la integral de Itô está bien definida generalmente proceden primero mirando integrandos muy simples, como constantes por partes, procesos continuos a la izquierda y adaptados donde la integral se puede escribir explícitamente. Estos procesos simples y predecibles son combinaciones lineales de términos de la forma H _t = A 1 _{{ t > T }} para los tiempos de parada T y F _T -variables aleatorias medibles A , para las cuales la integral es

${\displaystyle H\cdot X_{t}\equiv \mathbf {1} _{\{t>T\}}A(X_{t}-X_{T}).}$

Esta se extiende a todos los procesos predecibles simples por la linealidad de H · X en H .

Para un movimiento browniano B , la propiedad de que tiene incrementos independientes con media cero y varianza Var ( B _t ) =  t puede usarse para demostrar la isometría de Itô para integrandos predecibles simples,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot B_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,ds\right].}$

Por una extensión lineal continua , la integral se extiende únicamente a todos los integrandos predecibles que satisfacen

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H^{2}ds\right]<\infty ,}$

de tal manera que la isometría de Itô aún se mantenga. Luego se puede extender a todos los procesos integrables B por localización . Este método permite definir la integral con respecto a cualquier proceso Itô.

Para una semimartingala general X , se puede utilizar la descomposición X  =  M  +  A en una martingala local M más un proceso de variación finita A. Entonces, la integral se puede demostrar que existir por separado con respecto a M y A y combinarse usando linealidad, H · X  =  H · M  +  H · A , para obtener la integral con respecto a X . La integral estándar de Lebesgue-Stieltjespermite definir la integración con respecto a los procesos de variación finita, por lo que la existencia de la integral Itô para semimartingalas será la consecuencia de cualquier construcción para martingalas locales.

Para una martingala M integrable cuadrada de càdlàg , se puede utilizar una forma generalizada de la isometría de Itô. Primero, el teorema de descomposición de Doob-Meyer se usa para demostrar que existe una descomposición M ²  =  N  + < M >, donde N es una martingala y < M > es un proceso continuo a la derecha, creciente y predecible que comienza en cero. Este singularmente define < M >, que se conoce como la variación cuadrática predecible de M . La isometría de Itô para martingalas cuadradas integrables es entonces

${\displaystyle \mathbb {E} \left[(H\cdot M_{t})^{2}\right]=\mathbb {E} \left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}\,d\langle M\rangle _{s}\right],}$

que se puede probar directamente para integrandos predecibles simples. Como en el caso anterior para el movimiento browniano, se puede usar una extensión lineal continua para extender de manera única a todos los integrandos predecibles que satisfagan E [ H ²  · < M > _t ] <∞. Este método se puede extender a todas las martingalas integrables cuadradas locales mediante localización. Por último, la descomposición de Doob-Meyer se puede utilizar para descomponer cualquier martingala local en la suma de una martingala local cuadrada integrable y un proceso de variación finita, lo que permite construir la integral de Itô con respecto a cualquier semimartingala.

Existen muchas otras demostraciones que aplican métodos similares pero que evitan la necesidad de usar el teorema de descomposición de Doob-Meyer, como el uso de la variación cuadrática [ M ] en la isometría de Itô, el uso de la medida de Doléans para submartingales , o el uso de de las desigualdades de Burkholder-Davis-Gundy en lugar de la isometría de Itô. Esto último se aplica directamente a las martingalas locales sin tener que lidiar primero con el caso de la martingala cuadrada integrable.

Las pruebas alternativas existen únicamente haciendo uso del hecho de que X es càdlàg, adaptado, y el conjunto { H · X _t : | H | ≤ 1 es simple previsible} está limitado en probabilidad para cada tiempo t , que es una definición alternativa para que X sea ​​una semimartingale. Se puede utilizar una extensión lineal continua para construir la integral para todos los integrandos adaptados y continuos a la izquierda con límites a la derecha en todas partes (procesos caglad o L). Esto es lo suficientemente general como para poder aplicar técnicas como el lema de Itô ( Protter 2004 ). Además, una desigualdad de Khintchinese puede utilizar para probar el teorema de convergencia dominado y extender la integral a integrandos predecibles generales ( Bichteler 2002 ).

Diferenciación en el cálculo de Itô

El cálculo de Itô se define ante todo como un cálculo integral como se describe anteriormente. Sin embargo, también existen diferentes nociones de "derivada" con respecto al movimiento browniano:

Derivado de Malliavin

El cálculo de Malliavin proporciona una teoría de diferenciación para variables aleatorias definidas en el espacio de Wiener , incluida una fórmula de integración por partes ( Nualart 2006 ).

Representación martingala

El siguiente resultado permite expresar martingalas como integrales de Itô: si M es una martingala integrable en cuadrado en un intervalo de tiempo [0,  T ] con respecto a la filtración generada por un movimiento browniano B , entonces hay un proceso único integrable cuadrado adaptado α en [0,  T ] tal que

${\displaystyle M_{t}=M_{0}+\int _{0}^{t}\alpha _{s}\,\mathrm {d} B_{s}}$

casi con seguridad, y para todo t  ∈ [0,  T ] ( Rogers & Williams 2000 , Teorema 36.5). Este teorema de representación se puede interpretar formalmente diciendo que α es la "derivada en el tiempo" de M con respecto al movimiento browniano B , ya que α es precisamente el proceso que debe integrarse hasta el tiempo t para obtener M _t  -  M ₀ , como en cálculo determinista.

Itô cálculo para físicos

En física, generalmente se utilizan ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE), como las ecuaciones de Langevin , en lugar de integrales estocásticas. Aquí, una ecuación diferencial estocástica de Itô (SDE) a menudo se formula mediante

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l},}$

¿Dónde está el ruido blanco gaussiano con${\displaystyle \xi _{j}}$

${\displaystyle \langle \xi _{k}(t_{1})\,\xi _{l}(t_{2})\rangle =\delta _{kl}\delta (t_{1}-t_{2})}$

y se utiliza la convención de suma de Einstein .

Si es una función de x _k , entonces se debe usar el lema de Itô :${\displaystyle y=y(x_{k})}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {\partial y}{\partial x_{j}}}{\dot {x}}_{j}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x_{k}\,\partial x_{l}}}g_{km}g_{ml}.}$

Un Itô SDE como el anterior también corresponde a un Stratonovich SDE que dice

${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=h_{k}+g_{kl}\xi _{l}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g_{kl}}{\partial {x_{m}}}}g_{ml}.}$

Los SDE ocurren con frecuencia en física en forma de Stratonovich, como límites de ecuaciones diferenciales estocásticas impulsadas por ruido de color si el tiempo de correlación del término de ruido se acerca a cero. Para un tratamiento reciente de diferentes interpretaciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, ver por ejemplo ( Lau y Lubensky 2007 ).

Itô interpretación y teoría supersimétrica de SDE

Artículo principal: teoría supersimétrica de la dinámica estocástica

En la teoría supersimétrica de SDE , la evolución estocástica se define a través del operador de evolución estocástica (SEO) que actúa sobre formas diferenciales del espacio de fase. El dilema de Itô-Stratonovich toma la forma de la ambigüedad del orden del operador que surge en el camino del camino integral a la representación del operador de la evolución estocástica. La interpretación de Itô corresponde a la convención de ordenación del operador de que todos los operadores de impulso actúan después de todos los operadores de posición. El SEO puede hacerse único proporcionándole su definición matemática más natural del retroceso inducido por los difeomorfismos definidos por SDE dependientes de la configuración de ruido y promediado sobre las configuraciones de ruido. Esta desambiguación conduce a laInterpretación de Stratonovich de las SDE que puede convertirse en la interpretación de Itô mediante un cambio específico del campo del vector de flujo de la SDE.

Ver también

• Cálculo estocástico
• Proceso de salchicha
• El lema de Itô
• Integral de Stratonovich
• Semimartingale

Referencias

• Bichteler, Klaus (2002), Integración estocástica con saltos (1a ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81129-5
• Cohen, Samuel; Elliott, Robert (2015), Cálculo estocástico y aplicaciones (2a ed.), Birkhaueser , ISBN 978-1-4939-2867-5
• Hagen Kleinert (2004). Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 4ª edición, World Scientific (Singapur); Libro de bolsillo ISBN 981-238-107-4 . Quinta edición disponible en línea: archivos PDF , con generalizaciones del lema de Itô para procesos no gaussianos. 
• Él, Sheng-wu; Wang, Jia-gang; Yan, Jia-an (1992), Teoría de Semimartingale y cálculo estocástico , Science Press, CRC Press Inc., ISBN 978-0849377150
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven (1991), Movimiento browniano y cálculo estocástico (2a ed.), Springer, ISBN 0-387-97655-8
• Lau, Andy; Lubensky, Tom (2007), "Difusión dependiente del estado", Phys. Rev. E , 76 (1): 011123, arXiv : 0707.2234 , Bibcode : 2007PhRvE..76a1123L , doi : 10.1103 / PhysRevE.76.011123
• Nualart, David (2006), El cálculo de Malliavin y temas relacionados , Springer, ISBN 3-540-28328-5
• Øksendal, Bernt K. (2003), Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones , Berlín: Springer, ISBN 3-540-04758-1
• Protter, Philip E. (2004), Integración estocástica y ecuaciones diferenciales (2a ed.), Springer, ISBN 3-540-00313-4
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999), Martingalas continuas y movimiento browniano , Berlín: Springer, ISBN 3-540-57622-3
• Rogers, Chris; Williams, David (2000), Difusiones, procesos de Markov y martingalas - Volumen 2: cálculo de Itô , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-77593-0
• Programación de Finanzas Matemáticas en TI-Basic, que implementa el cálculo Ito para calculadoras TI.