El truco de Alexander , también conocido como el truco de Alexander , es un resultado básico en la topología geométrica , llamado así por JW Alexander .
Declaración
Dos homeomorfismos de la n - dimensional balón que coinciden en la esfera limítrofe son isotópicos .
De manera más general, dos homeomorfismos de D n que son isotópicos en el límite son isotópicos.
Prueba
Caso base : todo homeomorfismo que fija el límite es isotópico a la identidad relativa al límite.
Si satisface , entonces una isotopía que conecta f con la identidad viene dada por
Visualmente, el homeomorfismo se 'endereza' desde el límite, 'apretando' hasta el origen. William Thurston llama a esto "peinar todos los enredos en un solo punto". En el documento original de 2 páginas, JW Alexander explica que para cada la transformación replica a diferente escala, en el disco de radio , así como es razonable esperar que se fusiona con la identidad.
La sutileza es que en , "desaparece": el germen en el origen "salta" de una versión infinitamente estirada dea la identidad. Cada uno de los pasos en la homotopía podría suavizarse (suavizar la transición), pero la homotopía (el mapa general) tiene una singularidad en. Esto subraya que el truco de Alexander es una construcción PL , pero no suave.
Caso general : isotópico en el límite implica isotópico
Si son dos homeomorfismos que coinciden , luego es la identidad en , entonces tenemos una isotopía desde la identidad hasta . El mapa es entonces una isotopía de a .
Extensión radial
Algunos autores usan el término truco de Alexander para la afirmación de que todo homeomorfismo de se puede extender a un homeomorfismo de toda la bola .
Sin embargo, esto es mucho más fácil de probar que el resultado discutido anteriormente: se llama extensión radial (o conificación) y también es cierto a trozos-linealmente , pero no de manera uniforme.
Concretamente, deja ser un homeomorfismo, entonces
- define un homeomorfismo de la pelota.
Esferas exoticas
El fracaso de la extensión radial suave y el éxito de la extensión radial PL producen esferas exóticas a través de esferas retorcidas .
Ver también
Referencias
- Hansen, Vagn Lundsgaard (1989). Trenzas y revestimientos: temas seleccionados . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 18 . Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017 / CBO9780511613098 . ISBN 0-521-38757-4. Señor 1247697 .
- Alexander, JW (1923). "Sobre la deformación de una n- celda" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 9 (12): 406–407. Código bibliográfico : 1923PNAS .... 9..406A . doi : 10.1073 / pnas.9.12.406 .