Norma Alexiewicz

En matemáticas , específicamente en la teoría de la integración , la norma Alexiewicz es una norma integral asociada a la integral de Henstock-Kurzweil . La norma Alexiewicz convierte el espacio de las funciones integrables de Henstock-Kurzweil en un espacio vectorial topológico que es barrenado pero no completo . La norma Alexiewicz lleva el nombre del matemático polaco Andrzej Alexiewicz , quien la introdujo en 1948.

Definición

Sea HK ​​( R ) el espacio de todas las funciones f :  R  →  R que tienen una integral finita de Henstock-Kurzweil. Defina la semi-norma Alexiewicz de f  ∈ HK ( R ) por

${\displaystyle \|f\|:=\sup \left\{\left|\int _{I}f\right|:I\subseteq \mathbb {R} {\text{ is an interval}}\right\}.}$

Esto define una semi-norma en HK ( R ); si se identifican funciones que son iguales a Lebesgue - casi en todas partes , entonces este procedimiento define una norma de buena fe sobre el cociente de HK ( R ) por la relación de equivalencia de igualdad en casi todas partes. (Tenga en cuenta que la única función constante f :  R  →  R que es integrable es la que tiene un valor constante cero).

Propiedades

• La norma Alexiewicz dota a HK ( R ) de una topología arrolladora pero incompleta.
• La norma Alexiewicz como se define arriba es equivalente a la norma definida por

${\displaystyle \|f\|':=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|\int _{-\infty }^{x}f\right|.}$

• La terminación de HK ( R ) con respecto a la norma Alexiewicz a menudo se denota A ( R ) y es un subespacio del espacio de distribuciones templadas , el dual del espacio de Schwartz . Más precisamente, A ( R ) consiste en aquellas distribuciones templadas que son derivadas distributivas de funciones en la colección

${\displaystyle \left\{F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\left|\,F{\text{ is continuous, }}\lim _{x\to -\infty }F(x)=0,\lim _{x\to +\infty }F(x)\in \mathbb {R} \right.\right\}.}$

Por lo tanto, si f  ∈ A ( R ), entonces f es una distribución templada y existe una función continua F en la colección anterior tal que

${\displaystyle \langle F',\varphi \rangle =-\langle F,\varphi '\rangle =-\int _{-\infty }^{+\infty }F\varphi '=\langle f,\varphi \rangle }$

para cada soporte compacto C ^∞ función de prueba φ :  R  →  R . En este caso, sostiene que

${\displaystyle \|f\|'=\sup _{x\in \mathbb {R} }|F(x)|=\|F\|_{\infty }.}$

• El operador de traducción es continuo con respecto a la norma Alexiewicz. Es decir, si para f  ∈ HK ( R ) y x  ∈  R la traslación T _x f de f por x está definida por

${\displaystyle (T_{x}f)(y):=f(y-x),}$

luego

${\displaystyle \|T_{x}f-f\|\to 0{\text{ as }}x\to 0.}$

Referencias

• Alexiewicz, Andrzej (1948). "Funcionales lineales sobre funciones integrables de Denjoy". Coloquio de matemáticas . 1 : 289-293. Señor  0030120 .
• Talvila, Erik (2006). "Continuidad en la norma Alexiewicz" . Matemáticas. Bohem . 131 (2): 189-196. ISSN  0862-7959 . Señor  2242844 .