En matemáticas , especialmente en geometría algebraica y la teoría de variedades complejas , las gavillas coherentes son una clase de gavillas estrechamente ligadas a las propiedades geométricas del espacio subyacente. La definición de roldanas coherentes se hace con referencia a un haz de anillos que codifica esta información geométrica.
Las poleas coherentes pueden verse como una generalización de los haces de vectores . A diferencia de los paquetes de vectores, forman una categoría abeliana , por lo que se cierran en operaciones como tomar núcleos , imágenes y cokernels . Las gavillas cuasi coherentes son una generalización de las gavillas coherentes e incluyen las gavillas libres localmente de rango infinito.
La cohomología coherente de la gavilla es una técnica poderosa, en particular para estudiar las secciones de una gavilla coherente dada.
Definiciones
Una gavilla casi coherente en un espacio anillado es una gavilla de - módulos que tienen una presentación local, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en el que hay una secuencia exacta
para algunos conjuntos (posiblemente infinitos) y .
Una gavilla coherente en un espacio anillado es una gavilla satisfaciendo las siguientes dos propiedades:
- es de tipo finito sobre, es decir, cada punto en tiene un vecindario abierto en tal que hay un morfismo sobreyectivo por algún número natural ;
- para cualquier conjunto abierto , cualquier número natural , y cualquier morfismo de -módulos, el núcleo de es de tipo finito.
Los morfismos entre haces (cuasi) coherentes son los mismos que los morfismos de haces de -módulos.
El caso de los esquemas
Cuándo es un esquema, las definiciones generales anteriores equivalen a otras más explícitas. Una gavilla de -modules es cuasi-coherente si y solo si sobre cada subesquema afín abierto la restricción es isomorfo a la gavilla asociado al módulo encima . Cuándo es un esquema localmente noetheriano, es coherente si y solo si es cuasi coherente y los módulosse puede considerar que se genera de forma finita .
En un esquema afín , hay una equivalencia de categorías de-módulos a poleas cuasi coherentes, tomando un módulo a la gavilla asociada . La equivalencia inversa toma una gavilla casi coherente en hacia -módulo de secciones globales de .
Aquí hay varias caracterizaciones más de poleas cuasi coherentes en un esquema. [1]
Teorema - Sea ser un esquema y un -módulo en él. Entonces los siguientes son equivalentes.
- es casi coherente.
- Para cada subesquema afín abierto de , es isomorfo como un -módulo a la gavilla asociado a algunos -módulo .
- Hay una cubierta afín abierta de tal que para cada de la portada, es isomorfo a la gavilla asociada a algunos -módulo.
- Para cada par de subesquemas afines abiertos de , el homomorfismo natural
- es un isomorfismo.
- Para cada subesquema afín abierto de y cada , escritura para el subesquema abierto de dónde no es cero, el homomorfismo natural
- es un isomorfismo. El homomorfismo proviene de la propiedad universal de localización .
Propiedades
En un espacio anillado arbitrario, las gavillas cuasi coherentes no forman necesariamente una categoría abeliana. Por otro lado, las gavillas cuasi coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana, y son extremadamente útiles en ese contexto. [2]
En cualquier espacio anillado , las gavillas coherentes forman una categoría abeliana, una subcategoría completa de la categoría de-módulos. [3] (De manera análoga, la categoría de módulos coherentes sobre cualquier anillo es una subcategoría abeliana completa de la categoría de todos -modules.) Así que el núcleo, la imagen y el cokernel de cualquier mapa de haces coherentes son coherentes. La suma directa de dos haces coherentes es coherente; más generalmente, un-módulo que es una extensión de dos poleas coherentes es coherente. [4]
Un submódulo de una gavilla coherente es coherente si es de tipo finito. Una gavilla coherente es siempre una-módulo de presentación finita , lo que significa que cada punto en tiene un vecindario abierto tal que la restricción de a es isomorfo al cokernel de un morfismo para algunos números naturales y . Si es coherente, entonces, a la inversa, cada fajo de presentación finita sobre es coherente.
El haz de anillos Se llama coherente si es coherente considerado como un haz de módulos sobre sí mismo. En particular, el teorema de coherencia de Oka establece que el haz de funciones holomórficas en un espacio analítico complejoes un conjunto coherente de anillos. La parte principal de la prueba es el caso.. Del mismo modo, en un esquema localmente noetheriano , la estructura de la gavilla es un conjunto coherente de anillos. [5]
Construcciones básicas de poleas coherentes.
- Un -módulo en un espacio anillado se llama localmente libre de rango finito , o un paquete de vectores , si cada punto en tiene un vecindario abierto tal que la restricción es isomorfo a una suma directa finita de copias de . Si está libre del mismo rango cerca de cada punto de , luego el paquete de vectores se dice que es de rango .
- Paquetes de vectores en este sentido teórico de gavilla sobre un esquema son equivalentes a los paquetes de vectores definidos de una manera más geométrica, como un esquema con un morfismo y con una cubierta de por conjuntos abiertos con isomorfismos dados encima tal que los dos isomorfismos sobre una intersección difieren por un automorfismo lineal. [6] (La equivalencia análoga también es válida para espacios analíticos complejos). Por ejemplo, dado un paquete de vectores en este sentido geométrico, la gavilla correspondiente se define por: sobre un conjunto abierto de , la -módulo es el conjunto de secciones del morfismo . La interpretación teórica de haces de haces de vectores tiene la ventaja de que los haces de vectores (en un esquema localmente noetheriano) se incluyen en la categoría abeliana de haces coherentes.
- Las poleas libres localmente vienen equipadas con el estándar -módulo de operaciones, pero estos devuelven gavillas libres localmente. [ vago ]
- Dejar , un anillo noetheriano. Luego, los paquetes de vectores enson exactamente las poleas asociadas a módulos proyectivos generados finitamente sobre, o (equivalentemente) a módulos planos generados finitamente sobre. [7]
- Dejar , un noetheriano -anillo graduado, sea un esquema proyectivo sobre un anillo noetheriano. Entonces cada-calificado -módulo determina una gavilla casi coherente en tal que es la gavilla asociada a la -módulo , dónde es un elemento homogéneo de de grado positivo y es el lugar donde no desaparece.
- Por ejemplo, para cada entero , dejar denotar el calificado -módulo dado por . Entonces cada determina la gavilla casi coherente en . Si se genera como -álgebra por , luego es un paquete de líneas (gavilla invertible) en y es el -ésimo poder tensorial de . En particular,se llama el paquete de líneas tautológicas en el proyectivo-espacio.
- Un ejemplo simple de una gavilla coherente en que no es un paquete de vectores viene dado por el cokernel en la siguiente secuencia
- esto es porque restringido al lugar de fuga de los dos polinomios está el objeto cero.
- Gavillas ideales : Si es un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano , la gavilla de todas las funciones regulares que desaparecen en es coherente. Asimismo, si es un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo , la gavilla ideal es coherente.
- La estructura de la gavilla de un subesquema cerrado de un esquema localmente noetheriano puede verse como una gavilla coherente en . Para ser precisos, este es el haz de imágenes directas. , dónde es la inclusión. Lo mismo ocurre con un subespacio analítico cerrado de un espacio analítico complejo. La gavilla tiene fibra (definida a continuación) de dimensión cero en puntos del conjunto abierto , y fibra de dimensión 1 en puntos en . Hay una breve secuencia exacta de gavillas coherentes en:
- La mayoría de las operaciones del álgebra lineal conservan haces coherentes. En particular, para poleas coherentes y en un espacio anillado , la gavilla de producto tensory el haz de homomorfismos son coherentes. [8]
- Un simple ejemplo no de una gavilla cuasi coherente viene dado por la extensión por el funtor cero. Por ejemplo, considere por
- Dado que esta gavilla tiene tallos no triviales, pero cero secciones globales, no puede ser una gavilla casi coherente. Esto se debe a que las poleas cuasi coherentes en un esquema afín son equivalentes a la categoría de módulos sobre el anillo subyacente, y la adjunción proviene de tomar secciones globales.
Functorialidad
Dejar ser un morfismo de espacios anillados (por ejemplo, un morfismo de esquemas ). Si es una gavilla casi coherente en , luego la imagen inversa -módulo (o retroceso ) es casi coherente en . [10] Por un morfismo de esquemas y una gavilla coherente en , el retroceso no es coherente en total generalidad (por ejemplo, , que puede no ser coherente), pero los retrocesos de las poleas coherentes son coherentes si es localmente noetheriano. Un caso especial importante es el retroceso de un paquete de vectores, que es un paquete de vectores.
Si es un morfismo cuasi-compacto cuasi-separado de esquemas y es una gavilla casi coherente en , luego la gavilla de imagen directa (o empujar hacia adelante ) es casi coherente en . [2]
La imagen directa de una gavilla coherente a menudo no es coherente. Por ejemplo, para un campo , dejar ser la línea afín sobre , y considere el morfismo ; luego la imagen directa está la gavilla en asociado al anillo polinomial , que no es coherente porque tiene una dimensión infinita como -espacio vectorial. Por otro lado, la imagen directa de una gavilla coherente bajo un morfismo adecuado es coherente, según los resultados de Grauert y Grothendieck .
Comportamiento local de poleas coherentes
Una característica importante de las poleas coherentes. es que las propiedades de en un punto controlar el comportamiento de en un barrio de , más de lo que sería cierto para una gavilla arbitraria. Por ejemplo, el lema de Nakayama dice (en lenguaje geométrico) que si es una gavilla coherente en un esquema , luego la fibra de en un punto (un espacio vectorial sobre el campo de residuos ) es cero si y solo si la gavilla es cero en algún vecindario abierto de . Un hecho relacionado es que la dimensión de las fibras de una gavilla coherente es semicontinua superior . [11] Así, una gavilla coherente tiene un rango constante en un conjunto abierto, mientras que el rango puede saltar en un subconjunto cerrado de menor dimensión.
Con el mismo espíritu: una gavilla coherente en un esquema es un paquete de vectores si y solo si su tallo es un módulo gratuito sobre el anillo local por cada punto en . [12]
En un esquema general, no se puede determinar si una gavilla coherente es un paquete de vectores solo por sus fibras (en oposición a sus tallos). En un esquema localmente noetheriano reducido , sin embargo, una gavilla coherente es un paquete de vectores si y solo si su rango es localmente constante. [13]
Ejemplos de paquetes de vectores
Por un morfismo de esquemas , dejar ser el morfismo diagonal , que es una inmersión cerrada siestá separado sobre. Dejar ser el haz ideal de en . Entonces el haz de diferenciales se puede definir como el retroceso de a . Las secciones de esta gavilla se denominan formas 1 en encima , y se pueden escribir localmente en como sumas finitas para funciones regulares y . Si es localmente de tipo finito sobre un campo , luego es una gavilla coherente en .
Si se suavizar durante, luego (significado ) es un paquete de vectores sobre , llamado el paquete cotangente de. Entonces el paquete tangente se define como el paquete dual . Para allanar de dimensión en todas partes, el paquete tangente tiene rango .
Si es un subesquema cerrado suave de un esquema suave encima , entonces hay una breve secuencia exacta de paquetes de vectores en :
que se puede utilizar como una definición del paquete normal a en .
Para un esquema suave sobre un campo y un numero natural , el paquete de vectores de i- formas en se define como el -ésimo poder exterior del haz cotangente,. Para una variedad suave de dimensión encima , el paquete canónico significa el paquete de líneas . Así, las secciones del paquete canónico son análogos álgebro-geométricos de formas de volumen en. Por ejemplo, una sección del paquete canónico de espacio afín encima Se puede escribir como
dónde es un polinomio con coeficientes en .
Dejar ser un anillo conmutativo y un número natural. Por cada entero, hay un ejemplo importante de un paquete de líneas en el espacio proyectivo encima , llamada . Para definir esto, considere el morfismo de-esquemas
dado en coordenadas por . (Es decir, pensando en el espacio proyectivo como el espacio de subespacios lineales unidimensionales del espacio afín, envíe un punto distinto de cero en el espacio afín a la línea que abarca). Luego, una sección de sobre un subconjunto abierto de se define como una función regular en que sea homogéneo de grado , significa que
como funciones regulares en (. Para todos los enteros y , hay un isomorfismo de paquetes de líneas en .
En particular, todo polinomio homogéneo en de grado encima puede verse como una sección global de encima . Tenga en cuenta que cada subesquema cerrado de espacio proyectivo se puede definir como el conjunto cero de alguna colección de polinomios homogéneos, por lo tanto, como el conjunto cero de algunas secciones de los paquetes de líneas.. [14] Esto contrasta con el caso más simple del espacio afín, donde un subesquema cerrado es simplemente el conjunto cero de alguna colección de funciones regulares. Las funciones regulares en el espacio proyectivo encima son solo las "constantes" (el anillo ), por lo que es fundamental trabajar con los paquetes de líneas .
Serre dio una descripción algebraica de todos los haces coherentes en el espacio proyectivo, más sutil que lo que sucede con el espacio afín. Es decir, deja ser un anillo noetheriano (por ejemplo, un campo) y considerar el anillo polinomial como un anillo graduado con cada tener grado 1. Luego, cada grado generado finitamente -módulo tiene una gavilla coherente asociada en encima . Cada gavilla coherente en surge de esta manera de un graduado generado finitamente -módulo . (Por ejemplo, el paquete de líneas es la gavilla asociada a la -módulo con su clasificación rebajada en .) Pero el -módulo que produce una gavilla coherente dada en no es único; solo es único hasta cambiarpor módulos graduados que son distintos de cero en sólo un número finito de grados. Más precisamente, la categoría abeliana de gavillas coherentes enes el cociente de la categoría de calificados generados finitamente-módulos por la subcategoría Serre de módulos que son distintos de cero en sólo un número finito de grados. [15]
El haz tangente del espacio proyectivo sobre un campo se puede describir en términos del paquete de líneas . Es decir, hay una breve secuencia exacta, la secuencia de Euler :
De ello se deduce que el paquete canónico (el dual del conjunto de líneas determinantes del conjunto tangente) es isomorfo a. Este es un cálculo fundamental para la geometría algebraica. Por ejemplo, el hecho de que el paquete canónico es un múltiplo negativo del paquete de línea amplio significa que el espacio proyectivo es una variedad de Fano . Sobre los números complejos, esto significa que el espacio proyectivo tiene una métrica de Kähler con curvatura de Ricci positiva .
Paquetes de vectores en una hipersuperficie
Considere un grado suave hipersuperficie definido por el polinomio homogéneo de grado . Entonces, hay una secuencia exacta
donde el segundo mapa es el retroceso de formas diferenciales, y el primer mapa envía
Tenga en cuenta que esta secuencia nos dice que es el haz conormal de en . Dualizar esto produce la secuencia exacta
por eso es el paquete normal de en . Si usamos el hecho de que dada una secuencia exacta
de paquetes de vectores con rangos ,,, hay un isomorfismo
de paquetes de líneas, entonces vemos que existe el isomorfismo
mostrando que
Construcción de serre y paquetes de vectores
Una técnica útil para construir paquetes de vectores de rango 2 es la construcción de Serre [16] [17] pg 3 que establece una correspondencia entre los paquetes de vectores de rango 2 en una suave variedad proyectiva y subvariedades de codimensión 2 usando un cierto -grupo calculado sobre . Esto viene dado por una condición cohomológica en el paquete de líneas. (vea abajo).
La correspondencia en una dirección se da de la siguiente manera: para una sección podemos asociar el locus de desaparición . Si es una subvariedad de codimensión 2, entonces
- Es una intersección local completa, lo que significa que si tomamos un gráfico afín luego se puede representar como una función , dónde y
- El paquete de líneas es isomorfo al paquete canónico en
En la otra dirección, [18] para una subvariedad de codimensión 2 y un paquete de líneas tal que
hay un isomorfismo canónico
que es funcional con respecto a la inclusión de codimensión subvariedades. Además, cualquier isomorfismo dado a la izquierda corresponde a una gavilla localmente libre en el medio de la extensión de la derecha. Es decir, para que es un isomorfismo hay una gavilla localmente libre correspondiente de rango 2 que encaja en una breve secuencia exacta
Este paquete de vectores se puede estudiar más a fondo utilizando invariantes cohomológicos para determinar si es estable o no. Esto forma la base para estudiar módulos de paquetes de vectores estables en muchos casos específicos, como en variedades abelianas principalmente polarizadas [17] y superficies K3 . [19]
Clases de Chern y algebraica K -teoría
Un paquete de vectores en una variedad suave sobre un campo tiene clases de Chern en el anillo de Chow de, en por . [20] Estos satisfacen las mismas propiedades formales que las clases de Chern en topología. Por ejemplo, para cualquier secuencia corta y exacta
de paquetes de vectores en , las clases Chern de son dadas por
De ello se deduce que las clases de Chern de un paquete de vectores Dependen solo de la clase de en el grupo Grothendieck . Por definición, para un esquema, es el cociente del grupo abeliano libre en el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes vectoriales en por la relación que para cualquier secuencia corta exacta como arriba. Aunquees difícil de calcular en general, la teoría K algebraica proporciona muchas herramientas para estudiarla, incluida una secuencia de grupos relacionados para enteros .
Una variante es el grupo (o ), el grupo Grothendieck de gavillas coherentes en. (En términos topológicos, la teoría G tiene las propiedades formales de una teoría de homología de Borel-Moore para esquemas, mientras que la teoría K es la teoría de cohomología correspondiente ). es un isomorfismo si es un esquema noetheriano separado regular , que usa que cada haz coherente tiene una resolución finita por paquetes de vectores en ese caso. [21] Por ejemplo, eso da una definición de las clases Chern de una gavilla coherente en una variedad lisa sobre un campo.
De manera más general, un esquema noetheriano se dice que tiene la propiedad de resolución si cada gavilla coherente en tiene una sobreyección de algún paquete de vectores en . Por ejemplo, todo esquema cuasi proyectivo sobre un anillo noetheriano tiene la propiedad de resolución.
Aplicaciones de la propiedad de resolución
Dado que la propiedad de resolución establece que una gavilla coherente en un esquema noetheriano es cuasi-isomórfico en la categoría derivada del complejo de paquetes de vectores: podemos calcular la clase Chern total de con
Por ejemplo, esta fórmula es útil para encontrar las clases Chern de la gavilla que representan un subesquema de . Si tomamos el esquema proyectivo asociado al ideal , luego
ya que existe la resolución
encima .
Homomorfismo de haz frente a homomorfismo de gavilla
Cuando se usan indistintamente haces de vectores y haces libres localmente de rango constante finito, se debe tener cuidado para distinguir entre homomorfismos de haz y homomorfismos de haz. Específicamente, paquetes de vectores dados, por definición, un homomorfismo de paquete es un esquema de morfismo sobre (es decir, ) tal que, para cada punto geométrico en , es un mapa lineal de rango independiente de . Por lo tanto, induce el homomorfismo de la gavilla. de rango constante entre los correspondientes localmente libres -módulos (roldanas de doble tramo). Pero puede haber un-Homomorfismo de módulo que no surge de esta forma; es decir, aquellos que no tienen rango constante.
En particular, un subpaquete es una subheaf (es decir, es una subhaz de ). Pero lo contrario puede fallar; por ejemplo, para un divisor Cartier eficaz en , es una subheaf, pero normalmente no es un subpaquete (ya que cualquier paquete de línea tiene solo dos subpaquetes).
La categoría de poleas cuasi coherentes
Las gavillas cuasi coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana. Gabber demostró que, de hecho, las gavillas cuasi coherentes en cualquier esquema forman una categoría abeliana de comportamiento particularmente bueno, una categoría de Grothendieck . [22] Un esquema cuasi-compacto cuasi-separado (como una variedad algebraica sobre un campo) se determina hasta el isomorfismo por la categoría abeliana de haces cuasi-coherentes en , de Rosenberg, generalizando un resultado de Gabriel . [23]
Cohomología coherente
La herramienta técnica fundamental en geometría algebraica es la teoría de cohomología de haces coherentes. Aunque se introdujo solo en la década de 1950, muchas técnicas anteriores de geometría algebraica se aclaran mediante el lenguaje de la cohomología de gavillas aplicado a gavillas coherentes. En términos generales, la cohomología de haz coherente puede verse como una herramienta para producir funciones con propiedades específicas; las secciones de haces de líneas o de poleas más generales pueden verse como funciones generalizadas. En la geometría analítica compleja, la cohomología de gavilla coherente también juega un papel fundamental.
Entre los resultados centrales de la cohomología de gavilla coherente se encuentran los resultados sobre la dimensionalidad finita de la cohomología, los resultados sobre la desaparición de la cohomología en varios casos, los teoremas de dualidad como la dualidad de Serre , las relaciones entre topología y geometría algebraica como la teoría de Hodge y fórmulas para las características de Euler de haces coherentes como el teorema de Riemann-Roch .
Ver también
- Grupo picard
- Divisor (geometría algebraica)
- Gavilla reflexiva
- Esquema de cotización
- Gavilla retorcida
- Paquete de vectores esencialmente finito
- Paquete de partes principales
- Teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg
- Gavilla pseudo-coherente
- Gavilla cuasi coherente en una pila algebraica
Notas
- ^ Mumford 1999 , cap. III, § 1, Teorema-Definición 3.
- ^ a b Proyecto de pilas, etiqueta 01LA.
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01BU.
- ↑ Serre , 1955 , §13
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1960 , Corollaire 1.5.2
- ^ Hartshorne 1977 , ejercicio II.5.18
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 00NV.
- ↑ Serre , 1955 , §14
- ^ Hartshorne 1977
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01BG.
- ^ Hartshorne 1977 , ejemplo III.12.7.2
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1960 , Cap. 0, 5.2.7
- ^ Eisenbud 1995 , ejercicio 20.13
- ^ Hartshorne 1977 , Corolario II.5.16
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 01YR.
- ^ Serre, Jean-Pierre (1960-1961). "Sur les modules projectifs" . Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (en francés). 14 (1): 1–16.Mantenimiento CS1: formato de fecha ( enlace )
- ^ a b Gulbrandsen, Martin G. (20 de mayo de 2013). "Paquetes de vectores y mónadas en triples abelianos" (PDF) . Comunicaciones en álgebra . 41 (5): 1964–1988. arXiv : 0907.3597 . doi : 10.1080 / 00927872.2011.645977 . ISSN 0092-7872 .
- ^ Hartshorne, Robin (1978). "Paquetes de vectores estables de rango 2 en P3" . Mathematische Annalen . 238 : 229–280.
- ^ Huybrechts, Daniel; Lehn, Manfred (2010). La geometría de los espacios modulos de las poleas . Biblioteca matemática de Cambridge (2 ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. 123-128, 238-243. doi : 10.1017 / cbo9780511711985 . ISBN 978-0-521-13420-0.
- ^ Fulton 1998 , §3.2 y ejemplo 8.3.3
- ↑ Fulton 1998 , B.8.3
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 077K.
- ↑ Antieau 2016 , Corolario 4.2
Referencias
- Antieau, Benjamin (2016), "Un teorema de reconstrucción para categorías abelianas de gavillas retorcidas", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 712 : 175-188, arXiv : 1305.2541 , doi : 10.1515 / crelle-2013-0119 , MR 3466552
- Danilov, VI (2001) [1994], "Gavilla algebraica coherente" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Grauert, Hans ; Remmert, Reinhold (1984), poleas analíticas coherentes , Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-642-69582-7 , ISBN 3-540-13178-7, MR 0755331
- Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-0-387-98549-7, MR 1644323
- Secciones 0.5.3 y 0.5.4 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007 / bf02684778 . Señor 0217083 .
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Mumford, David (1999). El libro rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre curvas y sus jacobianos (2ª ed.). Springer-Verlag . doi : 10.1007 / b62130 . ISBN 354063293X. Señor 1748380 .
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Gavilla analítica coherente" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Onishchik, AL (2001) [1994], "Gavilla coherente" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Serre, Jean-Pierre (1955), "Faisceaux algébriques cohérents", Annals of Mathematics , 61 : 197–278, doi : 10.2307 / 1969915 , MR 0068874
enlaces externos
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks
- Parte V de Vakil, Ravi , El mar naciente