Teoría algebraica

Informalmente en lógica matemática , una teoría algebraica es una teoría que usa axiomas expresados completamente en términos de ecuaciones entre términos con variables libres . Las desigualdades y los cuantificadores están específicamente prohibidos. La lógica oracional es el subconjunto de la lógica de primer orden que involucra solo oraciones algebraicas.

La noción está muy cerca de la noción de estructura algebraica , que, posiblemente, puede ser solo un sinónimo.

Decir que una teoría es algebraica es una condición más fuerte que decir que es elemental .

Interpretación informal

Una teoría algebraica consiste en una colección de n términos funcionales con reglas adicionales (axiomas).

Por ejemplo, la teoría de grupos es una teoría algebraica porque tiene tres términos funcionales: una operación binaria a × b , una operación nula 1 ( elemento neutral ) y una operación unaria x ↦ x ⁻¹ con las reglas de asociatividad , neutralidad e inversos respectivamente. Otros ejemplos incluyen:

la teoría de los semigrupos
la teoría de las celosías
la teoría de los anillos

Esto se opone a la teoría geométrica que involucra funciones parciales (o relaciones binarias) o cuantores existenciales - ver, por ejemplo, geometría euclidiana donde se postula la existencia de puntos o líneas.

Interpretación teórica de modelos basada en categorías

Una teoría algebraica T es una categoría cuyos objetos son números naturales 0, 1, 2, ..., y que, para cada n , tiene una n -tupla de morfismos :

proy _i : n → 1, i = 1, ..., n

Esto permite interpretar n como un producto cartesiano de n copias de 1.

Ejemplo: Definamos una teoría algebraica T tomando hom ( n , m ) como m -tuplas de polinomios de n variables libres X ₁ , ..., X _n con coeficientes enteros y con sustitución como composición. En este caso, proj _i es lo mismo que X _i . Esta teoría T se denomina teoría de los anillos conmutativos .

En una teoría algebraica, cualquier morfismo n → m puede describirse como m morfismos de firma n → 1. Estos últimos morfismos se denominan operaciones n -arias de la teoría.

Si E es una categoría con productos finitos , la subcategoría completa Alg ( T , E ) de la categoría de functores [ T , E ] que consiste en aquellos functores que preservan productos finitos se llama categoría de T - modelos o T - álgebras .

Tenga en cuenta que para el caso de la operación 2 → 1, el álgebra A apropiada definirá un morfismo

A (2) ≈ A (1) × A (1) → A (1)

Ver también

Referencias

Lawvere, FW , 1963, Semántica funcional de las teorías algebraicas, Actas de la Academia Nacional de Ciencias 50, No. 5 (noviembre de 1963), 869-872
Adámek, J., Rosický, J., Vitale, EM, Teorías algebraicas. Una introducción categórica al álgebra general
Kock, A., Reyes, G., Doctrinas en lógica categórica, en Handbook of Mathematical Logic, ed. J. Barwise , Holanda Septentrional 1977
Teoría algebraica en nLab