El teorema del isomorfismo de Almgren es un resultado de la teoría de la medida geométrica y la topología algebraica sobre la topología del espacio de ciclos planos en una variedad de Riemann.
El teorema juega un papel fundamental en la teoría mínima-máxima de Almgren-Pitts, ya que establece la existencia de familias de ciclos topológicamente no triviales, que fueron utilizadas por Frederick J. Almgren Jr. , Jon T. Pitts y otros para probar la existencia de ( posiblemente singular) subvariedades mínimas en cada variedad de Riemann. En el caso especial de ciclos de codimensión 1 con coeficientes mod 2, el teorema del isomorfismo de Almgren implica que el espacio de ciclos es débilmente homotopía equivalente al espacio proyectivo real infinito . [1]
Declaración del teorema
Sea M una variedad de Riemann . El teorema del isomorfismo de Almgren afirma que el m-ésimo grupo de homotopía del espacio de ciclos planos k-dimensionales en M es isomorfo al grupo de homología (m + k) -ésimo dimensional de M. Este resultado es una generalización del teorema de Dold-Thom , que se puede considerar como el caso k = 0 del teorema de Almgren. [2]
El isomorfismo se define como sigue. Sea G un grupo abeliano y denotar el espacio de ciclos planos con coeficientes en el grupo G. Para cada familia de ciclos asociamos un ciclo (m + k) C de la siguiente manera. Arregle una triangulación fina T de. A cada vértice v en la estructura 0 de T asociamos un ciclo f (v). A cada borde E en el esqueleto 1 de T con ∂E = vw asociamos una cadena (k + 1) con el límite f (v) -f (w) de masa mínima. Procedemos de esta manera por inducción sobre el esqueleto de T. La suma de todas las cadenas correspondientes a las caras m-dimensionales de T será el ciclo deseado (m + k) C.Aunque las opciones de triangulación y rellenos de masa mínima no fueron únicos, todos dan como resultado un ciclo (m + k) en la misma clase de homología. [3]
Referencias
- ^ * White, Brian (1998), "Las matemáticas de FJ Almgren, Jr.", The Journal of Geometric Analysis , 8 (5): 681–702, doi : 10.1007 / BF02922665 , ISSN 1050-6926 , MR 1731057 , S2CID 122083638 , Zbl 0955.01020
- ^ FJ Almgren. Los grupos de homotopía de los grupos de ciclo integral. Tesis doctoral, 1962
- ^ Guth, L. La desigualdad de ancho-volumen. GAFA Geom. funct. anal. 17, 1139–1179 (2007)
Otras lecturas
- FJ Almgren. Los grupos de homotopía de los grupos de ciclo integral. Tesis de doctorado, 1962. OCLC: 22016723
- A. Neves, "New applications of Min-max Theory", Actas del Congreso Internacional de Matemáticas, (2014), 939-957
- FC Marques, A. Neves. "Aplicaciones de la teoría de Almgren - Pitts Min-max", Desarrollos actuales en matemáticas, 1-71, Int. Prensa, Somerville, MA, 2014
- White, Brian (1997), "Las matemáticas de FJ Almgren Jr." , Notices of the American Mathematical Society , 44 (11): 1451–1456, ISSN 0002-9920 , MR 1488574 , Zbl 0908.01017