En matemáticas , dos conjuntos son casi disjuntos [1] [2] si su intersección es pequeña en algún sentido; diferentes definiciones de "pequeño" darán lugar a diferentes definiciones de "casi disjunto".
Definición
La opción más común es tomar "pequeño" para significar finito . En este caso, dos conjuntos son casi disjuntos si su intersección es finita, es decir, si
(Aquí, '| X |' denota la cardinalidad de X , y '<∞' significa 'finito'.) Por ejemplo, los intervalos cerrados [0, 1] y [1, 2] son casi disjuntos, porque su intersección es el conjunto finito {1}. Sin embargo, el intervalo unitario [0, 1] y el conjunto de números racionales Q no son casi disjuntos, porque su intersección es infinita.
Esta definición se extiende a cualquier colección de conjuntos. Una colección de conjuntos es casi disjunta por pares o casi disociada entre sí si dos conjuntos distintos de la colección son casi disjuntos. A menudo, el prefijo "por pares" se elimina, y una colección casi disjunta por pares se llama simplemente "casi disjunta".
Formalmente, sea I un conjunto de índices , y para cada i en I , sea A i un conjunto. Entonces la colección de conjuntos { A i : i en I } es casi disjunta si para cualquier i y j en I ,
Por ejemplo, la colección de todas las líneas a través del origen en R 2 es casi desarticulada, porque dos de ellas solo se encuentran en el origen. Si { A i } es una colección casi disjunta que consta de más de un conjunto, entonces claramente su intersección es finita:
Sin embargo, lo contrario no es cierto: la intersección de la colección
está vacío, pero la colección no es casi inconexa; de hecho, la intersección de los dos conjuntos distintos de esta colección es infinita.
Las posibles cardinalidades de una familia máxima casi disjunta en el set de los números naturales ha sido objeto de un intenso estudio. [3] [2] El mínimo infinito tal cardinal es una de las características cardinales clásicas del continuo . [4] [5]
Otros significados
A veces, "casi disjunto" se usa en algún otro sentido, o en el sentido de teoría de la medida o categoría topológica . A continuación, se muestran algunas definiciones alternativas de "casi disjunto" que a veces se utilizan (definiciones similares se aplican a colecciones infinitas):
- Sea κ cualquier número cardinal . Entonces, dos conjuntos A y B son casi disjuntos si la cardinalidad de su intersección es menor que κ, es decir, si
- El caso de κ = 1 es simplemente la definición de conjuntos disjuntos ; el caso de
- es simplemente la definición de casi disjunto dada anteriormente, donde la intersección de A y B es finita.
- Deje que m sea una medida completa en un espacio de medida X . Entonces dos subconjuntos A y B de X son casi disjuntos si su intersección es un conjunto nulo, es decir, si
- Sea X un espacio topológico . Luego, dos subconjuntos A y B de X son casi disjuntos si su intersección es escasa en X .
Referencias
- ^ Kunen, K. (1980), "Teoría de conjuntos; una introducción a las pruebas de independencia", Holanda del Norte, p. 47
- ^ a b Jech, R. (2006) "Teoría de conjuntos (la edición del tercer milenio, revisada y ampliada)", Springer, p. 118
- ^ Eric van Douwen . Los enteros y la topología. En K. Kunen y JE Vaughan (eds) Handbook of Set-Theoretic Topology. Holanda Septentrional, Amsterdam, 1984.
- ^ Vaughan, Jerry E. (1990). "Capítulo 11: Pequeños cardenales incontables y topología". En van Mill, Jan; Reed, George M. (eds.). Problemas abiertos en topología (PDF) . Amsterdam: Compañía editorial de Holanda Septentrional . págs. 196–218 . ISBN 0-444-88768-7.
- ^ Blass, Andreas (12 de enero de 2010). "Capítulo 6: Características cardinales combinatorias del continuo". En Foreman, Matthew ; Kanamori, Akihiro (eds.). Manual de teoría de conjuntos (PDF) . 1 . Springer . págs. 395–490. ISBN 1-4020-4843-2.