En matemáticas , el teorema analítico de Fredholm es un resultado relativo a la existencia de inversos acotados para una familia de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert . Es la base de dos teoremas clásicos e importantes, la alternativa de Fredholm y el teorema de Hilbert-Schmidt . El resultado lleva el nombre del matemático sueco Erik Ivar Fredholm .
Declaración del teorema
Sea G ⊆ C un dominio (un conjunto abierto y conectado ). Sea ( H , ⟨,⟩) un espacio de Hilbert real o complejo y sea Lin ( H ) el espacio de operadores lineales acotados desde H en sí mismo; dejo que denotan el operador de identidad . Sea B : G → Lin ( H ) un mapeo tal que
- B es analítico sobre G en el sentido de que el límite
- existe para todo λ 0 ∈ G ; y
- el operador B ( λ ) es un operador compacto para cada λ ∈ G .
Entonces tambien
- ( I - B ( λ )) −1 no existe para ningún λ ∈ G ; o
- ( I - B ( λ )) −1 existe para cada λ ∈ G \ S , donde S es un subconjunto discreto de G (es decir, S no tiene puntos límite en G ). En este caso, la función que lleva λ a ( I - B ( λ )) −1 es analítica en G \ S y, si λ ∈ S , entonces la ecuación
- tiene una familia de soluciones de dimensión finita.
Referencias
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 266. ISBN 0-387-00444-0. (Teorema 8,92)