En análisis matemático , el teorema de Hilbert-Schmidt , también conocida como la función propia teorema de expansión , es un resultado fundamental relativa compacto , operadores autoadjuntos en espacios de Hilbert . En la teoría de ecuaciones diferenciales parciales , es muy útil para resolver problemas de valores de frontera elípticos .
Declaración del teorema
Sea ( H , ⟨,⟩) un espacio de Hilbert real o complejo y sea A : H → H un operador acotado , compacto y autoadjunto. Entonces hay una secuencia de valores propios reales distintos de cero λ i , i = 1, ..., N , con N igual al rango de A , tal que | λ i | es monótonamente no creciente y, si N = + ∞,
Además, si cada valor propio de A se repite en la secuencia de acuerdo con su multiplicidad , entonces existe un conjunto ortonormal φ i , i = 1, ..., N , de funciones propias correspondientes, es decir
Además, las funciones φ i forman una base ortonormal para el rango de A y A se pueden escribir como
Referencias
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos en Matemática Aplicada 13 (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. págs. 356 . ISBN 0-387-00444-0. (Teorema 8,94)