En geometría , el teorema de la bisectriz de ángulo se refiere a las longitudes relativas de los dos segmentos en los que el lado de un triángulo está dividido por una línea que biseca el ángulo opuesto . Iguala sus longitudes relativas a las longitudes relativas de los otros dos lados del triángulo.
Teorema
Considere un triángulo ABC . Deje que la bisectriz del ángulo de ángulo A de intersección lado BC en un punto D entre B y C . El teorema de la bisectriz del ángulo establece que la razón entre la longitud del segmento de línea BD y la longitud del segmento CD es igual a la razón entre la longitud del lado AB y la longitud del lado AC :
y a la inversa , si un punto D en el lado BC de triángulo ABC divide BC en la misma proporción que los lados AB y AC , a continuación, AD es la bisectriz del ángulo de ángulo ∠ A .
El teorema de la bisectriz de ángulo generalizado establece que si D se encuentra en la línea BC , entonces
Esto se reduce a la versión anterior si AD es la bisectriz de ∠ BAC . Cuando D es externo al segmento BC , los segmentos de línea dirigidos y los ángulos dirigidos deben usarse en el cálculo.
El teorema de la bisectriz de ángulo se usa comúnmente cuando se conocen las bisectrices de los ángulos y las longitudes de los lados. Puede usarse en un cálculo o en una prueba.
Una consecuencia inmediata del teorema es que la bisectriz del ángulo del vértice de un triángulo isósceles también bisecará el lado opuesto.
Pruebas
Prueba 1
En el diagrama anterior, use la ley de los senos en los triángulos ABD y ACD :
( 1 )
( 2 )
Los ángulos ∠ ADB y ∠ ADC forman un par lineal, es decir, son ángulos suplementarios adyacentes . Dado que los ángulos suplementarios tienen senos iguales,
Los ángulos ∠ DAB y ∠ DAC son iguales. Por lo tanto, los lados derechos de las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) son iguales, por lo que sus lados izquierdos también deben ser iguales.
que es el teorema de la bisectriz del ángulo.
Si los ángulos ∠ DAB y ∠ DAC son desiguales, las ecuaciones ( 1 ) y ( 2 ) se pueden reescribir como:
Los ángulos ∠ ADB y ∠ ADC siguen siendo suplementarios, por lo que los lados derechos de estas ecuaciones siguen siendo iguales, por lo que obtenemos:
que se reordena a la versión "generalizada" del teorema.
Prueba 2
Sea D un punto en la línea BC , no igual a B o C y tal que AD no es una altitud del triángulo ABC .
Deje B 1 sea la base (pie) de la altitud en el triángulo ABD a través de B y deje C 1 sea la base de la altitud en el triángulo ACD a través de C . Entonces, si D está estrictamente entre B y C , uno y solo uno de B 1 o C 1 se encuentra dentro del triángulo ABC y se puede suponer sin pérdida de generalidad que B 1 lo hace. Este caso se muestra en el diagrama adyacente. Si D se encuentra fuera del segmento BC , entonces ni B 1 ni C 1 se encuentran dentro del triángulo.
∠ DB 1 B y ∠ DC 1 C son ángulos rectos, mientras que los ángulos ∠ B 1 DB y ∠ C 1 DC son congruentes si D se encuentra en el segmento BC (es decir, entre B y C ) y son idénticos en el otro casos considerados, por lo que los triángulos DB 1 B y DC 1 C son similares (AAA), lo que implica que
Si D es el pie de una altitud, entonces,
y sigue la forma generalizada.
Prueba 3
Se puede obtener una prueba rápida observando la proporción de las áreas de los dos triángulos y , que son creados por la bisectriz de ángulo en . Calcular esas áreas dos veces usando fórmulas diferentes , es decir con base y altitud y con lados , y su ángulo cerrado , dará el resultado deseado.
Dejar denotar la altura de los triángulos en la base y ser la mitad del ángulo en . Luego
y
rendimientos
Bisectrices de ángulo exterior
Para las bisectrices exteriores de los ángulos en un triángulo no equilátero existen ecuaciones similares para las razones de las longitudes de los lados del triángulo. Más precisamente si la bisectriz del ángulo exterior en se cruza con el lado extendido en , la bisectriz del ángulo exterior en se cruza con el lado extendido en y la bisectriz del ángulo exterior en se cruza con el lado extendido en , entonces se cumplen las siguientes ecuaciones: [1]
- , ,
Los tres puntos de intersección entre las bisectrices del ángulo exterior y los lados del triángulo extendido , und son colineales, es decir, se encuentran en una línea común. [2]
Historia
El teorema de la bisectriz del ángulo aparece como la Proposición 3 del Libro VI en Elementos de Euclides . Según Heath (1956 , p. 197 (vol. 2)), Robert Simson dio el enunciado correspondiente para una bisectriz de ángulo externo, quien señaló que Pappus asumió este resultado sin pruebas. Heath continúa diciendo que Augustus De Morgan propuso que las dos declaraciones se combinen de la siguiente manera: [3]
- Si un ángulo de un triángulo es bisecado interna o externamente por una línea recta que corta el lado opuesto o el lado opuesto producido, los segmentos de ese lado tendrán la misma proporción que los otros lados del triángulo; y, si un lado de un triángulo se divide interna o externamente de modo que sus segmentos tengan la misma proporción que los otros lados del triángulo, la línea recta trazada desde el punto de sección hasta el punto angular que es opuesto al primer lado mencionado bisecará el ángulo interior o exterior en ese punto angular.
Aplicaciones
Este teorema se ha utilizado para demostrar los siguientes teoremas / resultados:
• Coordenadas del incentro de un triángulo
Referencias
- ^ Alfred S. Posamentier: Geometría euclidiana avanzada: excursiones para estudiantes y profesores . Springer, 2002, ISBN 9781930190856 , págs. 3-4
- ^ Roger A. Johnson: geometría euclidiana avanzada . Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0 , pág. 149 (publicación original de 1929 con Houghton Mifflin Company (Boston) como Modern Geometry ).
- ^ Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover.
Otras lecturas
- GWIS Amarasinghe: Sobre las longitudes estándar de las bisectrices angulares y el teorema de la bisectriz angular , Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Vol 01 (01), pp.15-27, 2012