Azulejos pentagonales
En geometría , un mosaico pentagonal es un mosaico del plano donde cada pieza individual tiene la forma de un pentágono .
A regulares pentagonal embaldosado en el plano euclidiano es imposible porque el ángulo interno de un pentágono regular , 108 °, no es un divisor de 360 °, la medida del ángulo de toda una vez . Sin embargo, los pentágonos regulares pueden enlosar el plano hiperbólico y la esfera ; este último produce un mosaico topológicamente equivalente al dodecaedro . [1]
Se conocen quince tipos de pentágonos convexos para enlosar el plano de forma monoédrica (es decir, con un tipo de mosaico). [2] El más reciente se descubrió en 2015. Rao (2017) ha demostrado que esta lista está completa (resultado sujeto a revisión por pares). Bagina (2011) mostró que solo hay ocho tipos convexos de borde a borde , resultado obtenido de forma independiente por Sugimoto (2012) .
Michaël Rao , de la École normale supérieure de Lyon , afirmó en mayo de 2017 haber encontrado la prueba de que, de hecho, no hay pentágonos convexos que superen estos 15 tipos. [3] Hasta el 11 de julio de 2017, la primera mitad de la prueba de Rao había sido verificada de forma independiente (código de computadora disponible [4] ) por Thomas Hales, profesor de matemáticas en la Universidad de Pittsburgh. [5] En diciembre de 2017, la prueba aún no había sido revisada por pares.
Cada familia de mosaicos enumerada contiene pentágonos que no pertenecen a ningún otro tipo; sin embargo, algunos pentágonos individuales pueden pertenecer a varios tipos. Además, algunos de los pentágonos en los tipos de mosaicos conocidos también permiten patrones de mosaico alternativos más allá del mosaico estándar exhibido por todos los miembros de su tipo.
Los lados de longitud a , b , c , d , e son directamente en el sentido de las agujas del reloj desde los ángulos en los vértices A , B , C , D , E respectivamente. (Por lo tanto, A , B , C , D , E son opuestos ad , e , a , b , c respectivamente).
