fracción continua
En matemáticas , una fracción continua es una expresión obtenida a través de un proceso iterativo de representar un número como la suma de su parte entera y el recíproco de otro número, luego escribir este otro número como la suma de su parte entera y otro recíproco, y así en. [1] En una fracción continua finita (o fracción continua terminada ), la iteración/ recursión finaliza después de un número finito de pasos mediante el uso de un número entero en lugar de otra fracción continua. En contraste, una fracción continua infinita es una expresión infinita. En cualquier caso, todos los enteros de la secuencia, excepto el primero, deben ser positivos . Los números enteros se denominan coeficientes o términos de la fracción continua. [2]
Por lo general, se supone que el numerador de todas las fracciones es 1. Si se utilizan valores y/o funciones arbitrarias en lugar de uno o más de los numeradores o los números enteros en los denominadores, la expresión resultante es una fracción continua generalizada . Cuando es necesario distinguir la primera forma de las fracciones continuas generalizadas, la primera puede llamarse fracción continua simple o regular , o decir que está en forma canónica .
Las fracciones continuas tienen una serie de propiedades notables relacionadas con el algoritmo de Euclides para números enteros o reales . Todo número racional / tiene dos expresiones íntimamente relacionadas como una fracción continua finita, cuyos coeficientes a i pueden determinarse aplicando el algoritmo de Euclides a . El valor numérico de una fracción continua infinita es irracional ; se define a partir de su secuencia infinita de enteros como el límite de una secuencia de valores para fracciones continuas finitas. Cada fracción continua finita de la secuencia se obtiene usando un prefijo finitode la secuencia de enteros que define la fracción continua infinita. Además, todo número irracional es el valor de una única fracción continua regular infinita, cuyos coeficientes se pueden encontrar utilizando la versión no terminante del algoritmo euclidiano aplicado a los valores inconmensurables y 1. Esta forma de expresar los números reales (racionales e irracionales) se llama su representación de fracción continua .
El término fracción continua también puede referirse a representaciones de funciones racionales , surgidas en su teoría analítica . Para este uso del término, consulte la aproximación de Padé y las funciones racionales de Chebyshev .
Considere, por ejemplo, el número racional 415/93 , que es alrededor de 4.4624 . Como primera aproximación , comience con 4, que es la parte entera ; 415 / 93 = 4 + 43 / 93 . La parte fraccionaria es el recíproco de 93/43 que es aproximadamente 2,1628 . Utilice la parte entera, 2, como una aproximación del recíproco para obtener una segunda aproximación de 4 + 1/2 = 4,5; 93 / 43 = 2 + 7 / 43. La parte fraccionaria restante, 7/43 , es el recíproco de 43/7 , y 43/7 es alrededor de 6,1429 . Use 6 como una aproximación para obtener 2 + 1/6 como una aproximación para 93/43 y 4 + 1/2 + 1/6 , alrededor de 4.4615 , como la tercera aproximación; 43 / 7 = 6 + 1 / 7 . Finalmente, la parte fraccionaria , 1/7, es el recíproco de 7 , por lo que su aproximación en este esquema, 7 , es exacta ( 7/1 = 7 + 0/1 ) y produce la expresión exacta 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 para 415 / 93 .
La expresión 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 se llama la representación de fracción continua de 415/93 . Esto se puede representar mediante la notación abreviada 415 / 93 = [4; 2, 6, 7]. (Se acostumbra reemplazar solo la primera coma por un punto y coma). Algunos libros de texto antiguos usan solo comas en la tupla ( n + 1) , por ejemplo, [4, 2, 6, 7]. [3] [4]
