En matemáticas , un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con muchas de las buenas propiedades de los espacios vectoriales de dimensión finita . La topología en ellos puede ser definida por una familia de seminormas cuyas bolas unitarias disminuyen rápidamente de tamaño. Los espacios vectoriales cuyos elementos son "suaves" en cierto sentido tienden a ser espacios nucleares; un ejemplo típico de un espacio nuclear es el conjunto de funciones suaves en un colector compacto .
Todos los espacios vectoriales de dimensión finita son nucleares (porque todo operador en un espacio vectorial de dimensión finita es nuclear). No hay espacios de Banach que sean nucleares, excepto los de dimensión finita. En la práctica, una especie de recíproco a esto suele ser cierto: si un espacio vectorial topológico "de origen natural" no es un espacio de Banach, entonces hay una buena probabilidad de que sea nuclear.
Motivación original: el teorema del núcleo de Schwartz
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en ( Grothendieck 1955 ). Ahora describimos esta motivación.
Para cualquier subconjunto abierto y el mapa canónico es un isomorfismo de TVS (donde tiene la topología de convergencia uniforme en subconjuntos delimitados ) y, además, ambos espacios son canónicamente TVS-isomorfos a (donde desde es nuclear, este producto tensorial es simultáneamente el producto tensorial inyectivo y el producto tensorial proyectivo ). [1] En resumen, el teorema del núcleo de Schwartz establece que:
donde todos estos isomorfismos TVS son canónicos.
Este resultado es falso si se reemplaza el espacio con (que es un espacio reflexivo que es incluso isomorfo a su propio espacio dual fuerte) y reemplaza con el dual de este espacio. [2] ¿Por qué un resultado tan bueno es válido para el espacio de distribuciones y funciones de prueba, pero no para el espacio de Hilbert? (que generalmente se considera uno de los televisores "más bonitos")? Esta pregunta llevó a Grothendieck a descubrir espacios nucleares , mapas nucleares y el producto tensorial inyectivo .
Motivaciones de la geometría
Otro conjunto de ejemplos motivadores proviene directamente de la geometría y la teoría de la variedad suave [3] apéndice 2 . Dados colectores suaves y un espacio vectorial topológico de Hausdorff localmente convexo, entonces existen los siguientes isomorfismos de espacios nucleares
Usar productos tensoriales estándar para como espacio vectorial, la función
no se puede expresar como una función por Esto da un ejemplo que demuestra que hay una inclusión estricta de conjuntos
Definición
Esta sección enumera algunas de las definiciones más comunes de un espacio nuclear. Las siguientes definiciones son todas equivalentes. Tenga en cuenta que algunos autores utilizan una definición más restrictiva de un espacio nuclear, al agregar la condición de que el espacio también debe ser un espacio de Fréchet . (Esto significa que el espacio está completo y la topología viene dada por una familia contable de seminormas).
Grothendieck utilizó la siguiente definición para definir los espacios nucleares. [4]
Definición 0 : Letser un espacio vectorial topológico localmente convexo. Luego es nuclear si para cualquier espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio (donde el dominio es el producto del tensor proyectivo y el codominio es el espacio de todas las formas bilineales continuas por separado endotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos equicontinuos ).
Empezamos recordando algunos antecedentes. Un espacio vectorial topológico localmente convexo tiene una topología definida por alguna familia de seminormas . Para cualquier seminorma, la bola unitaria es una vecindad simétrica convexa cerrada del origen y, a la inversa, cualquier vecindad simétrica convexa cerrada de 0 es la bola unitaria de alguna seminorma. (Para espacios vectoriales complejos, la condición "simétrica" debe reemplazarse por " balanceada "). es un seminario sobre luego denota el espacio de Banach dado al completar el espacio auxiliar normado utilizando la seminorm Hay un mapa natural (no necesariamente inyectivo).
Si es otra seminorma, más grande que (puntual en función de ), entonces hay un mapa natural de a tal que el primer mapa factoriza como Estos mapas son siempre continuos. El espacioes nuclear cuando se cumple una condición más fuerte, a saber, que estos mapas son operadores nucleares . La condición de operador nuclear es sutil, y más detalles están disponibles en el artículo correspondiente.
Definición 1 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma podemos encontrar una seminorm más grande para que el mapa natural es nuclear .
De manera informal, esto significa que siempre que se nos da la bola unitaria de alguna seminorma, podemos encontrar una bola unitaria "mucho más pequeña" de otra seminorma dentro de ella, o que cualquier vecindario de 0 contiene un vecindario "mucho más pequeño". No es necesario marcar esta condición para todos los seminarios.; basta con comprobarlo en busca de un conjunto de seminormas que generan la topología, es decir, un conjunto de seminormas que son una subbase de la topología.
En lugar de utilizar espacios de Banach arbitrarios y operadores nucleares, podemos dar una definición en términos de espacios de Hilbert y operadores de clases de rastreo , que son más fáciles de entender. (En los espacios de Hilbert, los operadores nucleares a menudo se denominan operadores de clase de rastreo). Diremos que una seminormaes una seminorm de Hilbert si es un espacio de Hilbert, o de manera equivalente si proviene de una forma semidefinita positiva sesquilineal en
Definición 2 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, tal que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorm de Hilbert más grande para que el mapa natural de a es la clase de rastreo .
Algunos autores prefieren utilizar operadores de Hilbert-Schmidt en lugar de operadores de clase de rastreo. Esto hace poca diferencia, porque cualquier operador de clase de rastreo es Hilbert-Schmidt, y el producto de dos operadores de Hilbert-Schmidt es de clase de rastreo.
Definición 3 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico con una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, tal que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorm de Hilbert más grande para que el mapa natural de a es Hilbert-Schmidt.
Si estamos dispuestos a utilizar el concepto de un operador nuclear desde un espacio vectorial topológico arbitrario localmente convexo a un espacio de Banach, podemos dar definiciones más cortas de la siguiente manera:
Definición 4 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma el mapa natural de es nuclear .
Definición 5 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que cualquier mapa lineal continuo a un espacio de Banach es nuclear.
Grothendieck utilizó una definición similar a la siguiente:
Definición 6 : Un espacio nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo. tal que para cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo el mapa natural del producto tensorial proyectivo al inyectivo de y es un isomorfismo.
De hecho, basta con comprobar esto solo para los espacios de Banach. o incluso solo para el espacio único de Banach de series absolutamente convergentes.
Caracterizaciones
Dejar ser un espacio localmente convexo de Hausdorff. Entonces los siguientes son equivalentes:
- es nuclear;
- para cualquier espacio localmente convexo la incrustación del espacio vectorial canónico es una incrustación de TVS cuya imagen es densa en el codominio;
- para cualquier espacio de Banach la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo suprayectivo de TVS; [5]
- para cualquier espacio localmente convexo de Hausdorff la incrustación del espacio vectorial canónico es un isomorfismo suprayectivo de TVS; [5]
- la incrustación canónica de en es un isomorfismo suprayectivo de TVS; [6]
- el mapa canónico de es un isomorfismo suprayectivo de TVS. [6]
- para cualquier seminario podemos encontrar una seminorm más grande para que el mapa natural es nuclear ;
- para cualquier seminario podemos encontrar una seminorm más grande para que la inyección canónica es nuclear; [5]
- la topología de se define por una familia de seminormas de Hilbert, tal que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorm de Hilbert más grande para que el mapa natural es una clase de rastreo ;
- tiene una topología definida por una familia de seminormas de Hilbert, tal que para cualquier seminorma de Hilbert podemos encontrar una seminorm de Hilbert más grande para que el mapa natural es Hilbert-Schmidt;
- para cualquier seminario el mapa natural de es nuclear .
- cualquier mapa lineal continuo a un espacio de Banach es nuclear;
- cada seminario continuo en es prenuclear; [7]
- cada subconjunto equicontinuo dees prenuclear; [7]
- cada mapa lineal desde un espacio de Banach a que transforma la bola unitaria en un conjunto equicontinuo, es nuclear; [5]
- la finalización de es un espacio nuclear;
Si es un espacio de Fréchet, entonces los siguientes son equivalentes:
- es nuclear;
- cada secuencia sumable en es absolutamente sumable; [6]
- el fuerte dual de es nuclear;
Condiciones suficientes
- Un espacio de Hausdorff localmente convexo es nuclear si y solo si su terminación es nuclear.
- Cada subespacio de un espacio nuclear es nuclear. [8]
- Cada espacio de cociente de Hausdorff de un espacio nuclear es nuclear. [8]
- El límite inductivo de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear. [8]
- La suma directa localmente convexa de una secuencia numerable de espacios nucleares es nuclear. [8]
- El fuerte dual de un espacio Fréchet nuclear es nuclear. [9]
- En general, el dual fuerte de un espacio nuclear puede no ser nuclear. [9]
- Un espacio de Fréchet cuyo dual fuerte es nuclear es en sí mismo nuclear. [9]
- El límite de una familia de espacios nucleares es nuclear. [8]
- El producto de una familia de espacios nucleares es nuclear. [8]
- La terminación de un espacio nuclear es nuclear (y de hecho, un espacio es nuclear si y solo si su terminación es nuclear).
- El producto tensorial de dos espacios nucleares es nuclear.
- El producto del tensor proyectivo , así como su finalización, de dos espacios nucleares es nuclear. [10]
Suponer que y son espacios localmente convexos con es nuclear.
- Si es nuclear, entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos dotado de la topología de la convergencia simple es un espacio nuclear. [9]
- Si es un espacio semi-reflexivo cuyo dual fuerte es nuclear y si es nuclear, entonces el espacio vectorial de mapas lineales continuos (dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ) es un espacio nuclear. [11]
Ejemplos de
- Si es un conjunto de cualquier cardinalidad, entonces y son ambos espacios nucleares. [12]
- Un ejemplo simple de dimensión infinita de un espacio nuclear es el espacio de todas las secuencias que disminuyen rápidamente ("Disminuyendo rápidamente" significa que está acotado para cualquier polinomio ). Por cada número real podemos definir una norma por
- Si el cumplimiento de esta norma es entonces hay un mapa natural de cuando sea y esto es nuclear siempre que esencialmente porque la serie es entonces absolutamente convergente. En particular para cada norma podemos encontrar otra norma, digamos tal que el mapa es nuclear. Entonces el espacio es nuclear.
- El espacio de funciones suaves en cualquier colector compacto es nuclear.
- El espacio Schwartz de funciones suaves en para el cual las derivadas de todos los órdenes están disminuyendo rápidamente es un espacio nuclear.
- El espacio de funciones holomorfas completas en el plano complejo es nuclear.
- El espacio de distribuciones el fuerte dual de es nuclear. [11]
Propiedades
Los espacios nucleares son en muchos aspectos similares a los espacios de dimensión finita y tienen muchas de sus buenas propiedades.
- Un espacio de Fréchet es nuclear si y solo si su dual fuerte es nuclear.
- Cada subconjunto delimitado de un espacio nuclear es precompacto (recuerde que un conjunto es precompacto si su cierre en la terminación del espacio es compacto). [13] Esto es análogo al teorema de Heine-Borel . Por el contrario, ningún espacio normado de dimensión infinita tiene esta propiedad (aunque los espacios de dimensión finita sí la tienen).
- Si es un espacio nuclear cuasi-completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos), entoncestiene la propiedad Heine-Borel . [14]
- Un espacio nuclear cuasi-completo con barriles es un espacio de Montel .
- Cada subconjunto equicontinuo cerrado del dual de un espacio nuclear es un conjunto metrizable compacto (para la topología dual fuerte).
- Todo espacio nuclear es un subespacio de un producto de los espacios de Hilbert.
- Todo espacio nuclear admite una base de seminormas que consisten en normas de Hilbert.
- Cada espacio nuclear es un espacio de Schwartz.
- Todo espacio nuclear posee la propiedad de aproximación. [15]
- Cualquier subespacio y cualquier espacio de cociente por un subespacio cerrado de un espacio nuclear es nuclear.
- Si es nuclear y es cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, entonces el mapa natural del producto del tensor proyectivo de A ypara el producto tensorial inyectivo es un isomorfismo. En términos generales, esto significa que solo hay una forma sensata de definir el producto tensorial. Esta propiedad caracteriza los espacios nucleares
- En la teoría de medidas en espacios vectoriales topológicos, un teorema básico establece que cualquier medida de conjunto de cilindros continuos en el dual de un espacio de Fréchet nuclear se extiende automáticamente a una medida de radón . Esto es útil porque a menudo es fácil construir medidas de conjuntos de cilindros en espacios vectoriales topológicos, pero estas no son lo suficientemente buenas para la mayoría de las aplicaciones a menos que sean medidas de Radon (por ejemplo, ni siquiera son contablemente aditivas en general).
El teorema del kernel
Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en ( Grothendieck 1955 ). Tenemos la siguiente generalización del teorema.
Teorema del núcleo de Schwartz : [9] Suponga que es nuclear, es localmente convexo, y es una forma bilineal continua en Luego se origina en un espacio de la forma dónde y son subconjuntos equicontinuos adecuados de y Equivalentemente, es de la forma,
- para todos
dónde y cada uno de y son equicontinuos. Además, estas secuencias pueden tomarse como secuencias nulas (es decir, convergiendo a 0) en y respectivamente.
Teorema de Bochner-Minlos
Un funcional continuo en un espacio nuclear se llama una característica funcional si y para cualquier complejo y
Dada una característica funcional en un espacio nuclear el teorema de Bochner-Minlos (según Salomon Bochner y Robert Adol'fovich Minlos ) garantiza la existencia y unicidad de la medida de probabilidad correspondiente en el espacio dual dada por
Esto extiende la transformada de Fourier inversa a los espacios nucleares.
En particular, si es el espacio nuclear
dónde son espacios de Hilbert, el teorema de Bochner-Minlos garantiza la existencia de una medida de probabilidad con la función característica es decir, la existencia de la medida gaussiana en el espacio dual . Esta medida se llama medida de ruido blanco . Cuándoes el espacio de Schwartz, el elemento aleatorio correspondiente es una distribución aleatoria .
Espacios fuertemente nucleares
Un espacio fuertemente nuclear es un espacio vectorial topológico localmente convexo tal que para cualquier seminorma existe una seminorm más grande para que el mapa natural es fuertemente nuclear .
Ver también
- Espacio auxiliar normado
- Kernel de Fredholm
- Producto tensor inyectivo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Operador nuclear
- Producto tensorial proyectivo
- Espacio de Hilbert aparejado : construcción que vincula el estudio de valores propios "ligados" y continuos en el análisis funcional
- Clase de seguimiento
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
Referencias
- ^ Trèves , 2006 , p. 531.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 509-510.
- ^ Costello, Kevin (2011). Renormalización y teoría de campo efectiva . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-5288-0. OCLC 692084741 .
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 170.
- ↑ a b c d Trèves , 2006 , p. 511.
- ↑ a b c Schaefer y Wolff , 1999 , p. 184.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 178.
- ↑ a b c d e f Schaefer y Wolff , 1999 , p. 103.
- ↑ a b c d e Schaefer y Wolff , 1999 , p. 172.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 105.
- ↑ a b Schaefer y Wolff , 1999 , p. 173.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 100.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 101.
- ^ Trèves , 2006 , p. 520.
- ^ Schaefer y Wolff , 1999 , p. 110.
Bibliografía
- Becnel, Jeremy (2021). Herramientas para el análisis dimensional infinito . Prensa CRC. ISBN 978-0-367-54366-2. OCLC 1195816154 .
- Grothendieck, Alexandre (1955). "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Memorias de la American Mathematical Society . 16 .
- Diestel, Joe (2008). La teoría métrica de los productos tensoriales: revisión del currículum de Grothendieck . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4440-3. OCLC 185095773 .
- Dubinsky, Ed (1979). La estructura de los espacios Fréchet nucleares . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7. OCLC 5126156 .
- Grothendieck, Grothendieck (1966). Produce tensoriels topologiques et espaces nucléaires (en francés). Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1216-5. OCLC 1315788 .
- Husain, Taqdir (1978). Barril en espacios vectoriales topológicos y ordenados . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665 .
- Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Apuntes de clase en matemáticas . 936 . Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Nlend, H (1977). Bornologías y análisis funcional: curso de introducción a la teoría de la dualidad topología-bornología y su uso en el análisis funcional . Amsterdam Nueva York Nueva York: North-Holland Pub. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. Y Canadá, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5. OCLC 2798822 .
- Nlend, H (1981). Espacios nucleares y conucleares: cursos de introducción a los espacios nucleares y conucleares a la luz de la dualidad . Amsterdam Nueva York Nueva York, NY: North-Holland Pub. Co. Distribuidores exclusivos para EE. UU. Y Canadá, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2. OCLC 7553061 .
- Gel'fand, IM; Vilenkin, N. Ya. (1964). Funciones generalizadas - vol. 4: Aplicaciones del análisis armónico . Nueva York: Academic Press. OCLC 310816279 .
- Takeyuki Hida y Si Si, Conferencias sobre funcionales de ruido blanco , World Scientific Publishing, 2008. ISBN 978-981-256-052-0
- TR Johansen, El teorema de Bochner-Minlos para espacios nucleares y un espacio abstracto de ruido blanco , 2003.
- GL Litvinov (2001) [1994], "Espacio nuclear" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Pietsch, Albrecht (1972) [1965]. Espacios nucleares localmente convexos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 66 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-05644-9. Señor 0350360 .
- Pietsch, Albrecht (1972). Espacios nucleares localmente convexos . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541 .
- Robertson, AP; WJ Robertson (1964). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics. 53 . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 141.
- Robertson, AP (1973). Espacios vectoriales topológicos . Cambridge, Inglaterra: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250 .
- Ryan, Raymond (2002). Introducción a los productos tensoriales de los espacios de Banach . Londres Nueva York: Springer. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .