En matemáticas , especialmente en análisis funcional , el espacio de Tsirelson es el primer ejemplo de un espacio de Banach en el que no se pueden incrustar ni un espacio ℓ p ni un espacio c 0 . El espacio de Tsirelson es reflexivo .
Fue introducido por BS Tsirelson en 1974. El mismo año, Figiel y Johnson publicaron un artículo relacionado ( Figiel & Johnson (1974) ) donde usaron la notación T para el dual del ejemplo de Tsirelson. Hoy, la letra T es la notación estándar [1] para el dual del ejemplo original, mientras que el ejemplo original de Tsirelson se denota por T *. En T * o en T , ningún subespacio es isomorfo , como el espacio de Banach, a un espacio ℓ p , 1 ≤ p <∞, o ac 0 .
Todos los espacios de Banach clásicos conocidos por Banach (1932) , espacios de funciones continuas , de funciones diferenciables o de funciones integrables , y todos los espacios de Banach utilizados en el análisis funcional durante los próximos cuarenta años, contienen algún ℓ p o c 0 . Además, nuevos intentos a principios de los 70 [2] para promover una teoría geométrica de los espacios de Banach llevaron a preguntar [3] si todo espacio de Banach de dimensión infinita tiene o no un subespacio isomórfico a algún ℓ p o ac 0 .
La radicalmente nueva construcción de Tsirelson está en la raíz de varios desarrollos adicionales en la teoría del espacio de Banach: el espacio arbitrariamente distorsionable de Schlumprecht ( Schlumprecht (1991) ), del cual dependen la solución de Gowers al problema del hiperplano de Banach [4] y la solución de Odell-Schlumprecht. al problema de la distorsión . Además, varios resultados de Argyros et al. [5] se basan en refinamientos ordinales de la construcción de Tsirelson, que culminan con la solución de Argyros-Haydon del problema escalar más compacto. [6]
La construcción de Tsirelson
En el espacio vectorial ℓ ∞ de secuencias escalares acotadas x = { x j } j ∈ N , sea P n el operador lineal que pone a cero todas las coordenadas x j de x para las cuales j ≤ n .
Una secuencia finita de vectores en ℓ ∞ se llama bloque-disjunto si hay números naturales así que eso , y asi que Cuándo o , Para cada n de 1 a N .
La bola unitaria B ∞ de ℓ ∞ es compacta y metrizable para la topología de convergencia puntual (la topología del producto ). El paso crucial en la construcción de Tsirelson es dejar que K sea el subconjunto cerrado puntual más pequeño de B ∞ que satisfaga las dos propiedades siguientes: [7]
- una. Para cada entero j en N , el vector unitario e j y todos los múltiplos , para | λ | ≤ 1, pertenecen a K .
- B. Para cualquier número entero N ≥ 1, si es una secuencia de bloques disjuntos en K , entonces pertenece a K .
Este conjunto K satisface la siguiente propiedad de estabilidad:
- C. Junto con cada elemento x de K , el conjunto K contiene todos los vectores y en ℓ ∞ tales que | y | ≤ | x | (para la comparación puntual).
Luego se muestra que K es en realidad un subconjunto de c 0 , el subespacio de Banach de ℓ ∞ que consiste en secuencias escalares que tienden a cero en el infinito. Esto se hace demostrando que
- d: para cada elemento x en K , existe un número entero n tal que 2 P n ( x ) pertenece a K ,
e iterando este hecho. Como K es compacto puntualmente y está contenido en c 0 , es débilmente compacto en c 0 . Sea V el casco convexo cerrado de K en c 0 . También es un conjunto débilmente compacto en c 0 . Se muestra que V satisface b , c y d .
El espacio Tsirelson T * es el espacio de Banach cuya bola unidad es V . La base del vector unitario es una base incondicional para T * y T * es reflexiva. Por lo tanto, T * no contiene una copia isomórfica de c 0 . Los otros ℓ p espacios, 1 ≤ p <∞, están descartados por la condición b .
Propiedades
El espacio de Tsirelson T * es reflexivo ( Tsirel'son (1974) ) y finitamente universal , lo que significa que para alguna constante C ≥ 1 , el espacio T * contiene C -copias isomórficas de cada espacio normado de dimensión finita, es decir, para cada de dimensión finita espacio normado X , existe un subespacio Y del espacio Tsirelson con multiplicativo distancia Banach-Mazur a X menos de C . En realidad, cada espacio de Banach finitamente universal contiene copias casi isométricas de cada espacio normado de dimensión finita, [8] lo que significa que C puede ser reemplazado por 1 + ε para cada ε> 0 . Además, todo subespacio de dimensión infinita de T * es finitamente universal. Por otro lado, cada subespacio de dimensión infinita en el dual T de T * contiene copias casi isométricas de, el n -dimensional ℓ 1 -espacio, para todo n .
El espacio T de Tsirelson es distorsionable , pero no se sabe si es distorsionable arbitrariamente .
El espacio T * es un espacio mínimo de Banach. [9] Esto significa que cada subespacio de Banach de dimensión infinita de T * contiene un subespacio adicional isomorfo a T * . Antes de la construcción de T * , los únicos ejemplos conocidos de los espacios mínimos fueron ℓ p y c 0 . El espacio dual T no es mínimo. [10]
El espacio T * es polinomialmente reflexivo .
Espacios derivados
El espacio simétrico de Tsirelson S ( T ) es polinomialmente reflexivo y tiene la propiedad de aproximación . Al igual que con T , es reflexivo y no se puede incrustar ningún espacio ℓ p en él.
Dado que es simétrico, se puede definir incluso en un conjunto de soporte incontable , dando un ejemplo de espacio de Banach polinomialmente reflexivo no separable .
Ver también
- Problema de distorsión
- Espacio de secuencia , base Schauder
- El espacio de James
Notas
- ↑ ver por ejemplo Casazza & Shura (1989) , p. 8; Lindenstrauss y Tzafriri (1977) , pág. 95; El Manual de Geometría de Espacios de Banach , vol. 1, pág. 276; vol. 2, pág. 1060, 1649.
- ↑ ver Lindenstrauss (1970) , Milman (1970) .
- ↑ La pregunta se formula explícitamente en Lindenstrauss (1970) , Milman (1970) , Lindenstrauss (1971) en la última página. Lindenstrauss y Tzafriri (1977) , pág. 95, dicen que esta pregunta era " un problema abierto de larga data que se remonta al libro de Banach " ( Banach (1932) ), pero la pregunta no aparece en el libro de Banach. Sin embargo, Banach compara la dimensión lineal de ℓ p con la de otros espacios clásicos, una pregunta algo similar.
- ↑ La pregunta es si todo espacio de Banach de dimensión infinita es isomorfo a sus hiperplanos. La solución negativa está en Gowers, " Una solución al problema del hiperplano de Banach ". Toro. London Math. Soc. 26 (1994), 523-530.
- ^ por ejemplo, S. Argyros y V. Felouzis, " Interpolando espacios de Banach indecomposibles hereditariamente ", Journal Amer. Matemáticas. Soc., 13 (2000), 243-294; S. Argyros y A. Tolias, " Métodos en la teoría de espacios de Banach hereditariamente indecomponibles ", Mem. Amer. Matemáticas. Soc. 170 (2004), núm. 806.
- ^ S. Argyros y R. Haydon construyeron un espacio de Banach en el que cada operador acotado es una perturbación compacta de un múltiplo escalar de la identidad, en " Un espacio L ∞ hereditariamente indecomposible que resuelve el problema escalar más compacto ", Acta Mathematica (2011) 206: 1-54.
- ^ las condiciones b , c , d aquí son las condiciones (3), (2) y (4) respectivamente en Tsirel'son (1974) , y a es una forma modificada de la condición (1) del mismo artículo.
- ^ esto se debe a que para cada n , C y ε, existe N tal que cada C -isomorfo de ℓ ∞ N contiene un (1 + ε) -isomorfo de ℓ ∞ n , mediante la técnica de bloqueo de James (ver Lema 2.2 en Robert C. James " Espacios de Banach uniformemente no cuadrados ", Annals of Mathematics, Vol. 80, 1964, págs. 542-550), y porque cada espacio normado de dimensión finita (1 + ε) se inserta en ℓ ∞ n cuando n es lo suficientemente grande.
- ^ ver Casazza y Shura (1989) , p. 54.
- ^ ver Casazza y Shura (1989) , p. 56.
Referencias
- Tsirel'son, BS (1974), " ' No todos los espacios de Banach contienen una incrustación de ℓ p o c 0 ", Análisis funcional y sus aplicaciones , 8 : 138–141, doi : 10.1007 / BF01078599 , MR 0350378 .
- Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 .
- Figiel, T .; Johnson, WB (1974), "Un espacio de Banach uniformemente convexo que no contiene ℓ p " , Compositio Mathematica , 29 : 179-190, MR 0355537.
- Casazza, Peter G .; Shura, Thaddeus J. (1989), Tsirelson's Space , Lecture Notes in Mathematics, 1363 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-50678-0, MR 0981801.
- Johnson, William B .; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2001), Manual de geometría de espacios de Banach , 1 , Elsevier.
- Johnson, William B .; J. Lindenstrauss, Joram, eds. (2003), Manual de geometría de espacios de Banach , 2 , Elsevier.
- Lindenstrauss, Joram (1970), "Algunos aspectos de la teoría de los espacios de Banach", Advances in Mathematics , 5 : 159–180, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90032-0.
- Lindenstrauss, Joram (1971), "La teoría geométrica de los espacios clásicos de Banach", Actes du Congrès Intern. Math., Niza 1970 : 365–372.
- Lindenstrauss, Joram ; Tzafriri, Lior (1977), Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
- Milman, VD (1970), "Teoría geométrica de los espacios de Banach. I. Teoría de los sistemas básicos y mínimos", Uspekhi Mat. Nauk (en ruso), 25 no. 3: 113-174. Traducción inglesa al ruso Matemáticas. Encuestas 25 (1970), 111-170.
- Schlumprecht, Th. (1991), "An arbitrary distortable Banach space", Israel Journal of Mathematics , 76 : 81–95, arXiv : math / 9201225 , doi : 10.1007 / bf02782845 , ISSN 0021-2172 , MR 1177333.
enlaces externos
- Las reminiscencias de Boris Tsirelson en su página web