En matemáticas , la teoría de Arakelov (o geometría de Arakelov ) es un enfoque de la geometría diofántica , llamada así por Suren Arakelov . Se utiliza para estudiar ecuaciones diofánticas en dimensiones superiores.
Fondo
Estudios Arakelov geometría un esquema X sobre el anillo de los enteros Z , poniendo métricas hermitianos en paquetes del vector holomorfas sobre X ( C ), los puntos complejos de X . Esta estructura extra hermitiana se aplica como sustituto del fracaso del esquema Spec ( Z ) de ser una variedad completa .
Resultados
Arakelov ( 1974 , 1975 ) definió una teoría de la intersección sobre las superficies aritméticas unidas a curvas proyectivas suaves sobre campos numéricos, con el objetivo de probar ciertos resultados, conocidos en el caso de los campos funcionales, en el caso de los campos numéricos. Gerd Faltings ( 1984 ) amplió el trabajo de Arakelov estableciendo resultados como un teorema de Riemann-Roch, una fórmula de Noether, un teorema del índice de Hodge y la no negatividad de la auto-intersección del haz de dualización en este contexto.
La teoría de Arakelov fue utilizada por Paul Vojta (1991) para dar una nueva prueba de la conjetura de Mordell , y por Gerd Faltings ( 1991 ) en su demostración de la generalización de Serge Lang de la conjetura de Mordell.
Pierre Deligne ( 1987 ) desarrolló un marco más general para definir el emparejamiento de intersecciones definido en una superficie aritmética sobre el espectro de un anillo de números enteros por Arakelov.
Henri Gillet y Christophe Soulé generalizaron la teoría de Arakelov a dimensiones superiores. Es decir, Gillet y Soulé definieron un emparejamiento de intersección en una variedad aritmética. Uno de los principales resultados de Gillet y Soulé es el teorema aritmético de Riemann-Roch de Gillet & Soulé (1992) , una extensión del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a las variedades aritméticas. Para esto, se definen los grupos aritméticos de Chow CH p ( X ) de una variedad aritmética X , y se definen las clases de Chern para los paquetes de vectores hermitianos sobre X tomando valores en los grupos aritméticos de Chow. El teorema aritmético de Riemann-Roch describe cómo se comporta la clase Chern bajo el empuje hacia adelante de paquetes vectoriales en un mapa adecuado de variedades aritméticas. Gillet, Rössler y Soulé publicaron recientemente una prueba completa de este teorema.
La teoría de la intersección de Arakelov para superficies aritméticas fue desarrollada por Jean-Benoît Bost ( 1999 ). La teoría de Bost se basa en el uso de funciones de Green que, hasta singularidades logarítmicas, pertenecen al espacio de Sobolev. En este contexto, Bost obtiene un teorema aritmético del índice de Hodge y lo usa para obtener los teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas.
Grupos de Chow aritmético
Un ciclo de aritmética de codimensión p es un par ( Z , g ) donde Z ∈ Z p ( X ) es una p -ciclo en X y g es una corriente verde por Z , una generalización de más dimensiones de una función de Green. El grupo aritmético Chow de codimensión p es el cociente de este grupo por el subgrupo generado por ciertos ciclos "triviales". [1]
El teorema aritmético de Riemann-Roch
El teorema habitual de Grothendieck-Riemann-Roch describe cómo se comporta el carácter de Chern ch bajo el empuje hacia adelante de las poleas, y establece que ch ( f * ( E )) = f * (ch (E) Td X / Y ), donde f es un el morfismo de X a Y y E es un paquete de vectores sobre f . El teorema aritmético de Riemann-Roch es similar, excepto que la clase de Todd se multiplica por una determinada serie de potencias. El teorema aritmético de Riemann-Roch establece
dónde
- X e Y son esquemas aritméticos proyectivos regulares.
- f es un mapa adecuado y uniforme de X a Y
- E es un paquete del vector sobre la aritmética X .
- es el carácter aritmético de Chern.
- T X / Y es el paquete tangente relativo
- es la clase aritmética de Todd
- es
- R ( X ) es la clase característica aditiva asociada a la serie formal de potencias
Ver también
Notas
- ^ Manin y Panchishkin (2008) págs. 400–401
Referencias
- Arakelov, Suren J. (1974), "Teoría de la intersección de divisores en una superficie aritmética", Matemáticas. URSS Izv. , 8 (6): 1167–1180, doi : 10.1070 / IM1974v008n06ABEH002141 , Zbl 0355.14002
- Arakelov, Suren J. (1975), "Teoría de las intersecciones en una superficie aritmética", Proc. Internat. Congr. Matemáticos Vancouver , 1 , Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 405–408, Zbl 0351.14003
- Bost, Jean-Benoît (1999), "Teoría del potencial y teoremas de Lefschetz para superficies aritméticas" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 32 (2): 241–312, doi : 10.1016 / s0012- 9593 (99) 80015-9 , ISSN 0012-9593 , Zbl 0931.14014
- Deligne, P. (1987), "Le déterminant de la cohomologie", Tendencias actuales en geometría algebraica aritmética (Arcata, Calif., 1985) [ El determinante de la cohomología ], Matemáticas contemporáneas, 67 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 93-177, doi : 10.1090 / conm / 067/902592 , MR 0902592
- Faltings, Gerd (1984), "Cálculo sobre superficies aritméticas", Annals of Mathematics , Segunda serie, 119 (2): 387–424, doi : 10.2307 / 2007043 , JSTOR 2007043
- Faltings, Gerd (1991), "Aproximación diofántica sobre variedades abelianas", Annals of Mathematics , Segunda serie, 133 (3): 549–576, doi : 10.2307 / 2944319 , JSTOR 2944319
- Faltings, Gerd (1992), Conferencias sobre el teorema aritmético de Riemann-Roch , Annals of Mathematics Studies, 127 , Princeton, NJ: Princeton University Press, doi : 10.1515 / 9781400882472 , ISBN 0-691-08771-7, MR 1158661
- Gillet, Henri ; Soulé, Christophe (1992), "Un teorema aritmético de Riemann-Roch", Inventiones Mathematicae , 110 : 473-543, doi : 10.1007 / BF01231343
- Kawaguchi, Shu; Moriwaki, Atsushi; Yamaki, Kazuhiko (2002), "Introducción a la geometría de Arakelov", Geometría algebraica en Asia oriental (Kyoto, 2001) , River Edge, Nueva Jersey: World Sci. Publ., Págs. 1–74, doi : 10.1142 / 9789812705105_0001 , ISBN 978-981-238-265-8, MR 2030448
- Lang, Serge (1988), Introducción a la teoría de Arakelov , Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-1031-3 , ISBN 0-387-96793-1, MR 0969124 , Zbl 0.667,14001
- Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
- Soulé, Christophe (2001) [1994], "Teoría de Arakelov" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Soulé, C .; con la colaboración de D. Abramovich, J.-F. Burnol y J. Kramer (1992), Conferencias sobre geometría de Arakelov , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 33 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. Viii + 177, doi : 10.1017 / CBO9780511623950 , ISBN 0-521-41669-8, MR 1208731
- Vojta, Paul (1991), "Teorema de Siegel en el caso compacto", Annals of Mathematics , Annals of Mathematics, vol. 133, núm. 3, 133 (3): 509–548, doi : 10.2307 / 2944318 , JSTOR 2944318
enlaces externos
- Archivo de preimpresiones de geometría de Arakelov