En matemáticas, una superficie aritmética sobre un dominio de Dedekind R con campo de fracción es un objeto geométrico que tiene una dimensión convencional y otra dimensión proporcionada por la infinitud de los números primos . Cuando R es el anillo de los números enteros Z , esta intuición depende de que el espectro ideal principal Spec ( Z ) se considere análogo a una línea. Las superficies aritméticas surgen naturalmente en la geometría diofántica , cuando se piensa que una curva algebraica definida sobre K tiene reducciones sobre los campos R / P , donde P es un ideal primo de R , para casi todo P; y son útiles para especificar qué debería suceder con el proceso de reducción a R / P cuando la forma más ingenua no tiene sentido.
Dicho objeto se puede definir más formalmente como un esquema R con una curva proyectiva conectada no singular para una fibra genérica y uniones de curvas (posiblemente reducibles , singulares , no reducidas ) sobre el campo de residuos apropiado para fibras especiales .
Definicion formal
Más detalladamente, una superficie aritmética (sobre el dominio de Dedekind ) es un esquema con morfismo con las siguientes propiedades: es integral , normal , excelente , plano y de tipo finito sobre y la fibra genérica es una curva proyectiva conectada no singular sobre y para otros en ,
es una unión de curvas sobre . [1]
Sobre un esquema de Dedekind
De manera aún más general, las superficies aritméticas se pueden definir sobre esquemas de Dedekind, un ejemplo típico de los cuales es el espectro del anillo de números enteros de un campo numérico (que es el caso anterior). Una superficie aritmética es entonces una superficie regular con fibras sobre un esquema Dedekind de dimensión uno. [2] Esta generalización es útil, por ejemplo, permite curvas base que son suaves y proyectivas sobre campos finitos, lo cual es importante en la característica positiva.
¿Qué los hace "aritméticos"?
Las superficies aritméticas sobre los dominios de Dedekind son el análogo aritmético de las superficies con fibras sobre las curvas algebraicas. [1] Las superficies aritméticas surgen principalmente en el contexto de la teoría de números. [3] De hecho, dada una curvasobre un campo numérico , existe una superficie aritmética sobre el anillo de enteros cuya fibra genérica es isomorfa a . En dimensiones superiores también se pueden considerar esquemas aritméticos. [3]
Propiedades
Dimensión
Las superficies aritméticas tienen dimensión 2 y dimensión relativa 1 sobre su base. [1]
Divisores
Podemos desarrollar una teoría de los divisores de Weil en superficies aritméticas ya que cada anillo local de dimensión uno es regular. Esto se indica brevemente como "las superficies aritméticas son regulares en la codimensión uno". [1] La teoría se desarrolla en Geometría algebraica de Hartshorne, por ejemplo. [4]
Ejemplos de
Línea proyectiva
La línea proyectiva sobre el dominio de Dedekindes una superficie aritmética suave y adecuada sobre. La fibra sobre cualquier ideal máximo es la línea proyectiva sobre el campo [5]
Modelos mínimos regulares
Los modelos de Néron para curvas elípticas , inicialmente definidas sobre un campo global , son ejemplos de esta construcción y son ejemplos muy estudiados de superficies aritméticas. [6] Existen fuertes analogías con las fibraciones elípticas .
Teoría de la intersección
Dados dos divisores irreductibles distintos y un punto cerrado en la fibra especial de una superficie aritmética, podemos definir el índice de intersección local de los divisores en el punto como lo haría para cualquier superficie algebraica, es decir, como la dimensión de un cierto cociente del local. anillo en un punto. [7] La idea es entonces sumar estos índices locales para obtener un índice de intersección global. La teoría comienza a divergir de la de las superficies algebraicas cuando tratamos de asegurar que los divisores lineales equivalentes den el mismo índice de intersección, esto se usaría, por ejemplo, para calcular un índice de intersección de divisores consigo mismo. Esto falla cuando el esquema básico de una superficie aritmética no es "compacto". De hecho, en este caso, la equivalencia lineal puede mover un punto de intersección hacia el infinito. [8] Una solución parcial a esto es restringir el conjunto de divisores que queremos intersecar, en particular forzando al menos un divisor a ser "fibral" (cada componente es un componente de una fibra especial) nos permite definir una intersección única. maridaje que tiene esta propiedad, entre otras deseables. [9] La teoría de Arakelov ofrece una resolución completa.
Teoría de Arakelov
La teoría de Arakelov ofrece una solución al problema presentado anteriormente. Intuitivamente, las fibras se agregan al infinito agregando una fibra por cada valor absoluto de Arquímedes de K. Entonces se puede definir un emparejamiento de intersección local que se extiende al grupo divisor completo, con la invariancia deseada bajo equivalencia lineal. [10]
Ver también
- Glosario de geometría aritmética y diofántica
- Teoría de Arakelov
- Modelo Néron
Notas
- ^ a b c d Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, pág. 311.
- ^ Liu, Q. Geometría algebraica y curvas aritméticas . Oxford University Press, 2002, capítulo 8.
- ^ a b Eisenbud, D. y Harris, J. La geometría de los esquemas . Springer-Verlag, 1998, pág. 81.
- ^ Hartshorne, R. Geometría algebraica . Springer-Verlang, 1977, pág. 130.
- ^ Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, pág. 312.
- ^ Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, Capítulo IV.
- ^ Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, pág. 339.
- ^ Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, pág. 340.
- ^ Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, pág. 341.
- ^ Silverman, JH Temas avanzados en la aritmética de curvas elípticas . Springer, 1994, pág. 344.
Referencias
- Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas . 52 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90244-9. Zbl 0367.14001 .
- Qing Liu (2002). Geometría algebraica y curvas aritméticas . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-850284-2.
- Eisenbud, David ; Harris, Joe (2000). La geometría de los esquemas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 197 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98637-5. Zbl 0960.14002 .
- Lang, Serge (1988). Introducción a la teoría de Arakelov . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 0-387-96793-1. Señor 0969124 . Zbl 0667.14001 .
- Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 151 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Zbl 0911.14015 .
- Soulé, C .; Abramovich, Dan; Burnol, J.-F .; Kramer, Jürg (1992). Conferencias sobre geometría Arakelov . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 33 . Trabajo conjunto con H. Gillet. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-47709-3. Zbl 0812.14015 .