El área es la cantidad que expresa la extensión de una región , forma o lámina bidimensional en el plano . El área de la superficie es su análogo en la superficie bidimensional de un objeto tridimensional . El área puede entenderse como la cantidad de material con un espesor dado que sería necesario para modelar un modelo de la forma, o la cantidad de pintura necesaria para cubrir la superficie con una sola capa. [1] Es el análogo bidimensional de la longitud de una curva (un concepto unidimensional) o elvolumen de un sólido (un concepto tridimensional).
Área | |
---|---|
Símbolos comunes | A |
Unidad SI | Metro cuadrado [m 2 ] |
En unidades base SI | 1 m 2 |
Dimensión |
El área de una forma se puede medir comparando la forma con cuadrados de un tamaño fijo. [2] En el Sistema Internacional de Unidades (SI), la unidad estándar de área es el metro cuadrado (escrito como m 2 ), que es el área de un cuadrado cuyos lados miden un metro de largo. [3] Una forma con un área de tres metros cuadrados tendría el mismo área que tres de esos cuadrados. En matemáticas , el cuadrado unitario se define para tener un área uno, y el área de cualquier otra forma o superficie es un número real adimensional .
Hay varias fórmulas conocidas para las áreas de formas simples como triángulos , rectángulos y círculos . Usando estas fórmulas, el área de cualquier polígono se puede encontrar dividiendo el polígono en triángulos . [4] Para formas con límite curvada, cálculo se requiere generalmente para calcular el área. De hecho, el problema de determinar el área de las figuras planas fue una de las principales motivaciones del desarrollo histórico del cálculo . [5]
Para una forma sólida, como una esfera , un cono o un cilindro, el área de su superficie límite se llama área de superficie . [1] [6] [7] Las fórmulas para las áreas de superficie de formas simples fueron calculadas por los antiguos griegos , pero calcular el área de superficie de una forma más complicada generalmente requiere cálculo multivariable .
El área juega un papel importante en las matemáticas modernas. Además de su importancia obvia en geometría y cálculo, el área está relacionada con la definición de determinantes en álgebra lineal y es una propiedad básica de las superficies en geometría diferencial . [8] En el análisis , el área de un subconjunto del plano se define utilizando la medida de Lebesgue , [9] aunque no todos los subconjuntos son medibles. [10] En general, el área en matemáticas superiores se considera un caso especial de volumen para regiones bidimensionales. [1]
El área se puede definir mediante el uso de axiomas, definiéndola como una función de una colección de ciertas figuras planas para el conjunto de números reales. Se puede probar que existe tal función.
Definicion formal
Un enfoque para definir lo que se entiende por "área" es a través de axiomas . El "área" se puede definir como una función de una colección M de un tipo especial de figuras planas (denominadas conjuntos medibles) al conjunto de números reales, que satisface las siguientes propiedades: [11]
- Para todo S en M , a ( S ) ≥ 0.
- Si S y T están en M, entonces también lo están S ∪ T y S ∩ T , y también a ( S ∪ T ) = a ( S ) + a ( T ) - a ( S ∩ T ).
- Si S y T están en M con S ⊆ T entonces T - S está en M y a ( T - S ) = a ( T ) - a ( S ).
- Si un conjunto S está en M y S es congruente con T, entonces T también está en M y a ( S ) = a ( T ).
- Cada rectángulo R está en M . Si el rectángulo tiene una longitud h y una anchura k, entonces a ( R ) = hk .
- Deje que Q sea un conjunto cerrado entre dos regiones de paso S y T . Una región paso está formado por una unión finita de rectángulos adyacentes que descansan sobre una base común, es decir, S ⊆ Q ⊆ T . Si hay un número único c tal que a ( S ) ≤ c ≤ a ( T ) para todas esas regiones escalonadas S y T , entonces a ( Q ) = c .
Se puede demostrar que tal función de área existe realmente. [12]
Unidades
Cada unidad de longitud tiene una unidad de área correspondiente, es decir, el área de un cuadrado con la longitud de lado dada. Así, las áreas se pueden medir en metros cuadrados (m 2 ), centímetros cuadrados (cm 2 ), milímetros cuadrados (mm 2 ), kilómetros cuadrados (km 2 ), pies cuadrados (ft 2 ), yardas cuadradas (yd 2 ), millas cuadradas. (mi 2 ) y así sucesivamente. [13] Algebraicamente, estas unidades pueden considerarse como los cuadrados de las unidades de longitud correspondientes.
La unidad SI de área es el metro cuadrado, que se considera una unidad derivada del SI . [3]
Conversiones
El cálculo del área de un cuadrado cuya longitud y ancho son 1 metro sería:
1 metro × 1 metro = 1 m 2
y así, un rectángulo con lados diferentes (digamos de 3 metros de largo y de 2 metros de ancho) tendría un área en unidades cuadradas que se puede calcular como:
3 metros × 2 metros = 6 m 2 . Esto equivale a 6 millones de milímetros cuadrados. Otras conversiones útiles son:
- 1 kilómetro cuadrado = 1,000,000 metros cuadrados
- 1 metro cuadrado = 10,000 centímetros cuadrados = 1,000,000 milímetros cuadrados
- 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.
Unidades no métricas
En unidades no métricas, la conversión entre dos unidades cuadradas es el cuadrado de la conversión entre las unidades de longitud correspondientes.
- 1 pie = 12 pulgadas ,
la relación entre pies cuadrados y pulgadas cuadradas es
- 1 pie cuadrado = 144 pulgadas cuadradas,
donde 144 = 12 2 = 12 × 12. De manera similar:
- 1 yarda cuadrada = 9 pies cuadrados
- 1 milla cuadrada = 3,097,600 yardas cuadradas = 27,878,400 pies cuadrados
Además, los factores de conversión incluyen:
- 1 pulgada cuadrada = 6.4516 centímetros cuadrados
- 1 pie cuadrado = 0.092 903 04 metros cuadrados
- 1 yarda cuadrada = 0.836 127 36 metros cuadrados
- 1 milla cuadrada = 2.589 988 110 336 kilómetros cuadrados
Otras unidades incluidas históricas
Hay varias otras unidades comunes para el área. El Are fue el emplazamiento original de la zona en el sistema métrico , con:
- 1 son = 100 metros cuadrados
Aunque el área ha caído en desuso, la hectárea todavía se usa comúnmente para medir la tierra: [13]
- 1 hectárea = 100 hectáreas = 10,000 metros cuadrados = 0.01 kilómetros cuadrados
Otras unidades métricas de área poco comunes incluyen la tétrada , la hectárea y la miríada .
El acre también se usa comúnmente para medir áreas de tierra, donde
- 1 acre = 4,840 yardas cuadradas = 43,560 pies cuadrados.
Un acre es aproximadamente el 40% de una hectárea.
En la escala atómica, el área se mide en unidades de graneros , de modo que: [13]
- 1 granero = 10 −28 metros cuadrados.
El granero se usa comúnmente para describir el área de interacción transversal en física nuclear . [13]
En India ,
- 20 dhurki = 1 dhur
- 20 dhur = 1 khatha
- 20 khata = 1 bigha
- 32 khata = 1 acre
Historia
Área del círculo
En el siglo V a. C., Hipócrates de Quíos fue el primero en mostrar que el área de un disco (la región encerrada por un círculo) es proporcional al cuadrado de su diámetro, como parte de su cuadratura de la luna de Hipócrates , [14 ] pero no identificó la constante de proporcionalidad . Eudoxo de Cnidus , también en el siglo V a. C., también encontró que el área de un disco es proporcional a su radio al cuadrado. [15]
Posteriormente, el Libro I de los Elementos de Euclides se ocupó de la igualdad de áreas entre figuras bidimensionales. El matemático Arquímedes usó las herramientas de la geometría euclidiana para mostrar que el área dentro de un círculo es igual a la de un triángulo rectángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, en su libro Medición de un círculo . (La circunferencia es 2 π r , y el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, lo que da como resultado el área π r 2 para el disco). Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario ) con su método de duplicación , en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular , luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a ese del círculo (e hizo lo mismo con los polígonos circunscritos ).
El científico suizo Johann Heinrich Lambert en 1761 demostró que π , la relación entre el área de un círculo y su radio al cuadrado, es irracional , lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros. [16] En 1794, el matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró que π 2 es irracional; esto también prueba que π es irracional. [17] En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no la solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler. [16] : pág. 196
Área del triángulo
Heron (o héroe) de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Heron para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica , escrito alrededor del 60 d.C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes, [18] y dado que Métrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo. [19]
En 499 Aryabhata , un gran matemático - astrónomo de la época clásica de las matemáticas y la astronomía indias , expresó el área de un triángulo como la mitad de la base por la altura en el Aryabhatiya (sección 2.6).
Los chinos descubrieron una fórmula equivalente a la de Heron independientemente de los griegos. Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang (" Tratado matemático en nueve secciones "), escrito por Qin Jiushao .
Área de cuadrilátero
En el siglo VII d.C., Brahmagupta desarrolló una fórmula, ahora conocida como fórmula de Brahmagupta , para el área de un cuadrilátero cíclico (un cuadrilátero inscrito en un círculo) en términos de sus lados. En 1842, los matemáticos alemanes Carl Anton Bretschneider y Karl Georg Christian von Staudt encontraron de forma independiente una fórmula, conocida como fórmula de Bretschneider , para el área de cualquier cuadrilátero.
Área poligonal general
El desarrollo de coordenadas cartesianas por René Descartes en el siglo XVII permitió el desarrollo de la fórmula del topógrafo para el área de cualquier polígono con ubicaciones de vértices conocidas por Gauss en el siglo XIX.
Áreas determinadas mediante cálculo
El desarrollo del cálculo integral a finales del siglo XVII proporcionó herramientas que podrían utilizarse posteriormente para calcular áreas más complicadas, como el área de una elipse y las áreas de superficie de varios objetos tridimensionales curvos.
Fórmulas de área
Fórmulas de polígono
Para un polígono que no se interseca automáticamente ( simple ), las coordenadas cartesianas ( i = 0, 1, ..., n -1) de cuyos n vértices se conocen, el área está dada por la fórmula del topógrafo : [20]
donde cuando i = n -1, entonces i +1 se expresa como módulo n y, por lo tanto, se refiere a 0.
Rectángulos
La fórmula del área más básica es la fórmula del área de un rectángulo . Dado un rectángulo de largo ly ancho w , la fórmula para el área es: [2] [21]
- A = lw (rectángulo).
Es decir, el área del rectángulo es la longitud multiplicada por el ancho. Como caso especial, como l = w en el caso de un cuadrado, el área de un cuadrado con una longitud de lado s viene dada por la fórmula: [1] [2] [22]
- A = s 2 (cuadrado).
La fórmula para el área de un rectángulo se deriva directamente de las propiedades básicas del área y, a veces, se toma como una definición o axioma . Por otro lado, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética , esta fórmula se puede utilizar para definir la multiplicación de números reales .
Disección, paralelogramos y triángulos
La mayoría de las otras fórmulas simples para el área se derivan del método de disección . Esto implica cortar una forma en pedazos, cuyas áreas deben sumar el área de la forma original.
Por ejemplo, cualquier paralelogramo se puede subdividir en un trapezoide y un triángulo rectángulo , como se muestra en la figura de la izquierda. Si el triángulo se mueve al otro lado del trapezoide, la figura resultante es un rectángulo. De ello se deduce que el área del paralelogramo es la misma que el área del rectángulo: [2]
- A = bh (paralelogramo).
Sin embargo, el mismo paralelogramo también se puede cortar a lo largo de una diagonal en dos triángulos congruentes , como se muestra en la figura de la derecha. De ello se deduce que el área de cada triángulo es la mitad del área del paralelogramo: [2]
- (triángulo).
Se pueden usar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapezoide [23] , así como polígonos más complicados . [24]
Área de formas curvas
Círculos
La fórmula para el área de un círculo (más propiamente llamada el área encerrada por un círculo o el área de un disco ) se basa en un método similar. Dado un círculo de radio r , es posible dividir el círculo en sectores , como se muestra en la figura de la derecha. Cada sector tiene una forma aproximadamente triangular y los sectores se pueden reorganizar para formar un paralelogramo aproximado. La altura de este paralelogramo es r , y el ancho es la mitad de la circunferencia del círculo, o π r . Por lo tanto, el área total del círculo es π r 2 : [2]
- A = π r 2 (círculo).
Aunque la disección utilizada en esta fórmula es solo aproximada, el error se vuelve cada vez más pequeño a medida que el círculo se divide en más y más sectores. El límite de las áreas de los paralelogramos aproximados es exactamente π r 2 , que es el área del círculo. [25]
Este argumento es en realidad una simple aplicación de las ideas del cálculo . En la antigüedad, el método de agotamiento se usaba de manera similar para encontrar el área del círculo, y este método ahora se reconoce como un precursor del cálculo integral . Usando métodos modernos, el área de un círculo se puede calcular usando una integral definida :
Elipses
La fórmula del área encerrada por una elipse está relacionada con la fórmula de un círculo; para una elipse con semi-mayor y semi-menores ejes x y y la fórmula es: [2]
Área de superficie
La mayoría de las fórmulas básicas para el área de la superficie se pueden obtener cortando superficies y aplanándolas. Por ejemplo, si la superficie lateral de un cilindro (o cualquier prisma ) se corta a lo largo, la superficie se puede aplanar en un rectángulo. De manera similar, si se hace un corte a lo largo del costado de un cono , la superficie lateral se puede aplanar en un sector de un círculo y calcular el área resultante.
La fórmula para el área de la superficie de una esfera es más difícil de derivar: debido a que una esfera tiene una curvatura gaussiana distinta de cero , no se puede aplanar. La fórmula para el área de la superficie de una esfera fue obtenida por primera vez por Arquímedes en su obra Sobre la esfera y el cilindro . La fórmula es: [6]
- A = 4 πr 2 (esfera),
donde r es el radio de la esfera. Al igual que con la fórmula para el área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza inherentemente métodos similares al cálculo .
Fórmulas generales
Áreas de figuras bidimensionales
- Un triangulo :(donde B es cualquier lado y h es la distancia desde la línea en la que B se encuentra hasta el otro vértice del triángulo). Esta fórmula se puede utilizar si se conoce la altura h . Si se conocen las longitudes de los tres lados, se puede usar la fórmula de Heron :donde a , b , c son los lados del triángulo, yes la mitad de su perímetro. [2] Si se dan un ángulo y sus dos lados incluidos, el área esdonde C es el ángulo dado y un y b son sus lados incluidos. [2] Si el triángulo se grafica en un plano de coordenadas, se puede usar una matriz y se simplifica al valor absoluto de. Esta fórmula también se conoce como la fórmula del cordón y es una manera fácil de resolver el área de un triángulo de coordenadas sustituyendo los 3 puntos (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) y (x 3 , y 3 ) . La fórmula de los cordones de los zapatos también se puede utilizar para encontrar las áreas de otros polígonos cuando se conocen sus vértices. Otro enfoque para un triángulo de coordenadas es usar el cálculo para encontrar el área.
- Un polígono simple construido en una cuadrícula de puntos de igual distancia (es decir, puntos con coordenadas enteras ) de manera que todos los vértices del polígono son puntos de cuadrícula:, donde i es el número de puntos de la cuadrícula dentro del polígono y b es el número de puntos límite. Este resultado se conoce como teorema de Pick . [26]
Área en cálculo
- El área entre una curva positiva de valor y el eje horizontal, medida entre dos valores de un y b (b se define como el mayor de los dos valores) en el eje horizontal, está dada por la integral de una a b de la función que representa la curva: [1]
- El área entre las gráficas de dos funciones es igual a la integral de una función , f ( x ), menos la integral de la otra función, g ( x ):
- dónde es la curva con el mayor valor de y.
- Un área delimitada por una función expresado en coordenadas polares es: [1]
- El área encerrada por una curva paramétrica con puntos finales viene dada por las integrales de línea :
- o el componente z de
- (Para obtener más información, consulte el teorema de Green § Cálculo del área ). Este es el principio del dispositivo mecánico planímetro .
Área limitada entre dos funciones cuadráticas
Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas , restamos una de la otra para escribir la diferencia como
donde f ( x ) es el límite superior cuadrático y g ( x ) es el límite inferior cuadrático. Defina el discriminante de f ( x ) - g ( x ) como
Simplificando la fórmula integral entre las gráficas de dos funciones (como se indica en la sección anterior) y usando la fórmula de Vieta , podemos obtener [27] [28]
Lo anterior sigue siendo válido si una de las funciones delimitadoras es lineal en lugar de cuadrática.
Área de superficie de figuras tridimensionales
- Cono : [29] , donde r es el radio de la base circular y h es la altura. Eso también se puede reescribir como[29] odonde r es el radio y l es la altura inclinada del cono. es el área base mientras es el área de la superficie lateral del cono. [29]
- cubo :, donde s es la longitud de un borde. [6]
- cilindro :, donde r es el radio de una base y h es la altura. El 2r también se puede reescribir comod , donde d es el diámetro.
- prisma : 2B + Ph, donde B es el área de una base, P es el perímetro de una base y h es la altura del prisma.
- pirámide :, donde B es el área de la base, P es el perímetro de la base y L es la longitud de la inclinación.
- prisma rectangular :, dónde es la longitud, w es el ancho y h es la altura.
Fórmula general para el área de la superficie
La fórmula general para el área de la superficie de la gráfica de una función continuamente diferenciable dónde y es una región en el plano xy con el límite suave:
Una fórmula aún más general para el área de la gráfica de una superficie paramétrica en forma vectorial dónde es una función vectorial continuamente diferenciable de es: [8]
Lista de fórmulas
Forma | Fórmula | Variables |
---|---|---|
Triángulo regular ( triángulo equilátero ) | es la longitud de un lado del triángulo. | |
Triángulo [1] | es la mitad del perímetro, , y son la longitud de cada lado. | |
Triángulo [2] | y son dos lados cualesquiera, y es el ángulo entre ellos. | |
Triángulo [1] | y son la base y la altitud (medidas perpendicularmente a la base), respectivamente. | |
Triángulo isósceles | es la longitud de uno de los dos lados iguales y es la longitud de un lado diferente. | |
Rombo / Cometa | y son las longitudes de las dos diagonales del rombo o cometa. | |
Paralelogramo | es la longitud de la base y es la altura perpendicular. | |
Trapezoide | y son los lados paralelos y la distancia (altura) entre los paralelos. | |
Hexágono regular | es la longitud de un lado del hexágono. | |
Octágono regular | es la longitud de un lado del octágono. | |
Polígono regular | es la longitud del lado y es el número de lados. | |
Polígono regular | es el perímetro y es el número de lados. | |
Polígono regular | es el radio de un círculo circunscrito, es el radio de un círculo inscrito, y es el número de lados. | |
Polígono regular | es el número de lados, es la longitud del lado, es la apotema , o el radio de un círculo inscrito en el polígono, y es el perímetro del polígono. | |
Circulo | es el radio y el diámetro . | |
Sector circular | y son el radio y el ángulo (en radianes ), respectivamente y es la longitud del perímetro. | |
Elipse [2] | y son los ejes semi-mayor y semi-menor , respectivamente. | |
Superficie total de un cilindro | y son el radio y la altura, respectivamente. | |
Superficie lateral de un cilindro | y son el radio y la altura, respectivamente. | |
Superficie total de una esfera [6] | y son el radio y el diámetro, respectivamente. | |
Superficie total de una pirámide [6] | es el área base, es el perímetro de la base y es la altura inclinada. | |
Superficie total de un tronco de pirámide [6] | es el área base, es el perímetro de la base y es la altura inclinada. | |
Conversión de área cuadrada a circular | es el área del cuadrado en unidades cuadradas. | |
Conversión de área circular a cuadrada | es el área del círculo en unidades circulares. |
Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas formas comunes .
Las áreas de polígonos irregulares (y por lo tanto arbitrarios) se pueden calcular usando la " fórmula del agrimensor " (fórmula del cordón). [25]
Relación de área a perímetro
La desigualdad isoperimétrica establece que, para una curva cerrada de longitud L (por lo que la región que encierra tiene perímetro L ) y para el área A de la región que encierra,
y la igualdad se mantiene si y solo si la curva es un círculo . Por lo tanto, un círculo tiene el área más grande de cualquier figura cerrada con un perímetro dado.
En el otro extremo, una figura con un perímetro L dado podría tener un área arbitrariamente pequeña, como lo ilustra un rombo que se "vuelca" arbitrariamente lejos de modo que dos de sus ángulos estén arbitrariamente cercanos a 0 ° y los otros dos arbitrariamente cercanos. a 180 °.
Para un círculo, la relación entre el área y la circunferencia (el término para el perímetro de un círculo) es igual a la mitad del radio r . Esto se puede ver en la fórmula del área πr 2 y la fórmula de la circunferencia 2 πr .
El área de un polígono regular es la mitad de su perímetro multiplicado por la apotema (donde la apotema es la distancia desde el centro hasta el punto más cercano en cualquier lado).
Fractales
Al duplicar las longitudes de los bordes de un polígono se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y el anterior) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio en el que reside el polígono). Pero si las longitudes unidimensionales de un fractal dibujado en dos dimensiones se duplican, el contenido espacial del fractal se escala en una potencia de dos que no es necesariamente un número entero. Este poder se llama dimensión fractal del fractal. [30]
Bisectrices de área
Hay una infinidad de rectas que bisecan el área de un triángulo. Tres de ellos son las medianas del triángulo (que conectan los puntos medios de los lados con los vértices opuestos), y estos son concurrentes en el centroide del triángulo ; de hecho, son las únicas bisectrices de área que atraviesan el centroide. Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su círculo ). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado.
Cualquier línea que pase por el punto medio de un paralelogramo biseca el área.
Todas las bisectrices de área de un círculo u otra elipse pasan por el centro, y los acordes que atraviesan el centro bisecan el área. En el caso de un círculo, son los diámetros del círculo.
Mejoramiento
Dado un contorno de alambre, la superficie de menor área que se extiende ("relleno") es una superficie mínima . Los ejemplos familiares incluyen pompas de jabón .
La cuestión del área de llenado del círculo de Riemann permanece abierta. [31]
El círculo tiene el área más grande de cualquier objeto bidimensional que tenga el mismo perímetro.
Un polígono cíclico (uno inscrito en un círculo) tiene el área más grande de cualquier polígono con un número dado de lados de la misma longitud.
Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos los que tienen un perímetro dado es equilátero . [32]
El triángulo de mayor superficie de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero; y el triángulo de menor área de todos los circunscritos alrededor de un círculo dado es equilátero. [33]
La razón entre el área del círculo y el área de un triángulo equilátero, , es más grande que el de cualquier triángulo no equilátero. [34]
La razón del área al cuadrado del perímetro de un triángulo equilátero, es más grande que el de cualquier otro triángulo. [32]
Ver también
- Cuadrilátero de Brahmagupta , un cuadrilátero cíclico con lados enteros, diagonales enteros y área entera.
- Mapa de Equiareal
- Triángulo de Heronian , un triángulo con lados enteros y área entera.
- Lista de desigualdades de triángulos
- Triángulo de un séptimo de área , un triángulo interior con un séptimo del área del triángulo de referencia.
- Teorema de Routh , una generalización del triángulo de un séptimo de área.
- Órdenes de magnitud: una lista de áreas por tamaño.
- Derivación de la fórmula de un pentágono.
- Planímetro , un instrumento para medir áreas pequeñas, por ejemplo, en mapas.
- Área de un cuadrilátero convexo
- El pentágono de Robbins , un pentágono cíclico cuyas longitudes de lado y área son números racionales.
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