El segundo momento del área , o segundo momento del área , o momento cuadrático del área y también conocido como el momento de inercia del área , es una propiedad geométrica de un área que refleja cómo se distribuyen sus puntos con respecto a un eje arbitrario. El segundo momento del área se denota típicamente con un (para un eje que se encuentra en el plano) o con un (para un eje perpendicular al plano). En ambos casos, se calcula con una integral múltiple sobre el objeto en cuestión. Su dimensión es L (longitud) a la cuarta potencia. Su unidad de dimensión, cuando se trabaja con el Sistema Internacional de Unidades , es metros a la cuarta potencia, m 4 , o pulgadas a la cuarta potencia, en 4 , cuando se trabaja en el Sistema Imperial de Unidades .
En ingeniería estructural , el segundo momento de área de una viga es una propiedad importante utilizada en el cálculo de la deflexión de la viga y el cálculo de la tensión causada por un momento aplicado a la viga. Para maximizar el segundo momento de área, una gran fracción del área de la sección transversal de una viga en I se ubica a la distancia máxima posible desde el centroide de la sección transversal de la viga en I. El segundo momento plano del área proporciona información sobre la resistencia de una viga a la flexión debido a un momento aplicado, una fuerza o una carga distribuida perpendicular a su eje neutro , en función de su forma. El segundo momento polar de área proporciona información sobre la resistencia de una viga a la deflexión torsional , debido a un momento aplicado paralelo a su sección transversal, en función de su forma.
Diferentes disciplinas usan el término momento de inercia (MOI) para referirse a diferentes momentos . Puede referirse a cualquiera de los segundos momentos planos del área (a menudo o , con respecto a algún plano de referencia), o el segundo momento polar del área (, donde r es la distancia a algún eje de referencia). En cada caso, la integral está sobre todos los elementos infinitesimales del área , dA, en alguna sección transversal bidimensional. En física , el momento de inercia es estrictamente el segundo momento de la masa con respecto a la distancia desde un eje:, Donde r es la distancia al eje de rotación algún potencial, y la integral es sobre todos los elementos infinitesimales de masa , dm, en un espacio tridimensional ocupado por un objeto Q . El MOI, en este sentido, es el análogo de masa para problemas rotacionales. En ingeniería (especialmente mecánica y civil), el momento de inercia comúnmente se refiere al segundo momento del área. [1]
Definición
El segundo momento del área para una forma arbitraria R con respecto a un eje arbitrario Se define como
dónde
- es el elemento de área infinitesimal, y
- es la distancia perpendicular al eje . [2]
Por ejemplo, cuando el eje de referencia deseado es el eje x, el segundo momento del área (a menudo denotado como ) se puede calcular en coordenadas cartesianas como
El segundo momento del área es crucial en la teoría de Euler-Bernoulli de vigas delgadas.
Momento del producto del área
De manera más general, el momento del producto del área se define como [3]
Teorema del eje paralelo
A veces es necesario calcular el segundo momento del área de una forma con respecto a un eje diferente al eje centroidal de la forma. Sin embargo, a menudo es más fácil derivar el segundo momento del área con respecto a su eje centroidal,, y use el teorema del eje paralelo para derivar el segundo momento del área con respecto al eje. El teorema del eje paralelo establece
dónde
Se puede hacer una afirmación similar sobre un eje y el centroidal paralelo eje. O, en general, cualquier centroidal eje y paralelo eje.
Teorema del eje perpendicular
Para simplificar el cálculo, a menudo se desea definir el momento polar del área (con respecto a un eje perpendicular) en términos de dos momentos de inercia del área (ambos con respecto a los ejes en el plano). El caso más simple se relaciona a y .
Esta relación se basa en el teorema de Pitágoras que relaciona y a y sobre la linealidad de la integración .
Formas compuestas
Para áreas más complejas, a menudo es más fácil dividir el área en una serie de formas "más simples". El segundo momento de área para toda la forma es la suma del segundo momento de áreas de todas sus partes alrededor de un eje común. Esto puede incluir formas que "faltan" (es decir, agujeros, formas huecas, etc.), en cuyo caso el segundo momento del área de las áreas "faltantes" se resta, en lugar de sumar. En otras palabras, el segundo momento del área de las partes "faltantes" se considera negativo para el método de formas compuestas.
Ejemplos de
Consulte la lista de segundos momentos del área para ver otras formas.
Rectángulo con centroide en el origen
Considere un rectángulo con base y altura cuyo centroide se encuentra en el origen. representa el segundo momento del área con respecto al eje x; representa el segundo momento del área con respecto al eje y; representa el momento polar de inercia con respecto al eje z.
Usando el teorema del eje perpendicular obtenemos el valor de.
Anillo centrado en el origen
Considere un anillo cuyo centro está en el origen, el radio exterior es, y el radio interior es . Debido a la simetría del anillo, el centroide también se encuentra en el origen. Podemos determinar el momento polar de inercia,, acerca de eje por el método de formas compuestas. Este momento polar de inercia es equivalente al momento polar de inercia de un círculo con radio menos el momento polar de inercia de un círculo con radio , ambos centrados en el origen. Primero, derivemos el momento polar de inercia de un círculo con radiocon respecto al origen. En este caso, es más fácil calcular directamente como ya tenemos , que tiene tanto un y componente. En lugar de obtener el segundo momento del área a partir de las coordenadas cartesianas como se hizo en la sección anterior, calcularemos y directamente usando coordenadas polares .
Ahora, el momento polar de inercia sobre el eje para un anillo es simplemente, como se indicó anteriormente, la diferencia de los segundos momentos del área de un círculo con radio y un círculo con radio .
Alternativamente, podríamos cambiar los límites en el integral la primera vez para reflejar el hecho de que hay un agujero. Esto se haría así.
Cualquier polígono
El segundo momento del área alrededor del origen de cualquier polígono simple en el plano XY se puede calcular en general sumando las contribuciones de cada segmento del polígono después de dividir el área en un conjunto de triángulos. Esta fórmula está relacionada con la fórmula de los cordones de los zapatos y puede considerarse un caso especial del teorema de Green .
Se supone que un polígono tiene vértices, numerados en sentido antihorario. Si los vértices del polígono se numeran en el sentido de las agujas del reloj, los valores devueltos serán negativos, pero los valores absolutos serán correctos.
[6] [7]
dónde son las coordenadas del -ésimo vértice del polígono, para . También, se supone que son iguales a las coordenadas del primer vértice, es decir, y . [8] [9]
Ver también
- Lista de segundos momentos del área
- Lista de momentos de inercia
- Momento de inercia
- Teorema del eje paralelo
- Teorema del eje perpendicular
- Radio de giro
Referencias
- ^ Cerveza, Ferdinand P. (2013). Mecánica vectorial para ingenieros (10ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 471. ISBN 978-0-07-339813-6.
El término segundo momento es más apropiado que el término momento de inercia, ya que, lógicamente, este último debería usarse sólo para denotar integrales de masa (véase la sección 9.11). En la práctica de la ingeniería, sin embargo, el momento de inercia se utiliza en relación con áreas y masas.
- ^ Pilkey, Walter D. (2002). Análisis y Diseño de Vigas Elásticas . John Wiley & Sons, Inc. pág. 15 . ISBN 978-0-471-38152-5.
- ^ Cerveza, Ferdinand P. (2013). "Capítulo 9.8: Producto de inercia". Mecánica vectorial para ingenieros (10ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 495. ISBN 978-0-07-339813-6.
- ^ Hibbeler, RC (2004). Estática y Mecánica de Materiales (Segunda ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-028127-1 .
- ^ Cerveza, Ferdinand P. (2013). "Capítulo 9.6: Teorema de ejes paralelos". Mecánica vectorial para ingenieros (10ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 481. ISBN 978-0-07-339813-6.
- ^ Hally, David (1987). Cálculo de los momentos de polígonos (PDF) (Informe técnico). Defensa Nacional Canadiense. Memorando técnico 87/209.
- ^ Obregón, Joaquín (2012). Simmetría mecánica . Casa de autor. ISBN 978-1-4772-3372-6.
- ^ Steger, Carsten (1996). "Sobre el cálculo de momentos arbitrarios de polígonos" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2018-10-03.
- ^ Soerjadi, Ir. R. "Sobre el cálculo de los momentos de un polígono, con algunas aplicaciones" .