En matemáticas , el endomorfismo de Frobenius se define en cualquier anillo conmutativo R que tiene la característica p , donde p es un número primo . Es decir, el mapeo φ que toma r en R a r p es un endomorfismo de anillo de R .
La imagen de φ es entonces R p , el subanillo de R que consta de p -ésimas potencias. En algunos casos importantes, por ejemplo campos finitos , φ es sobreyectiva . De lo contrario, φ es un endomorfismo pero no un automorfismo de anillos .
La terminología de Frobenius geométrico surge al aplicar el espectro de una construcción de anillo a φ. Esto da un mapeo
de esquemas afines . Incluso en los casos en que R p = R esta no es la identidad, a menos que R sea el campo primo .
Las asignaciones creadas por productos de fibra con φ*, es decir , cambios de base , tienden en la teoría de esquemas a llamarse Frobenius geométrico . La razón de una terminología cuidadosa es que el automorfismo de Frobenius en los grupos de Galois , o definido por el transporte de estructura , es a menudo el mapeo inverso del Frobenius geométrico. Como en el caso de un grupo cíclico en el que un generador es también el inverso de un generador, en muchas situaciones hay dos posibles definiciones de Frobenius, y sin una convención consistente puede aparecer algún problema de signo menos .