En matemáticas , una función inversa (o anti-función ) [1] es una función que "invierte" otra función: si la función f aplicada a una entrada x da un resultado de y , entonces la aplicación de su función inversa g a y da el resultado x , es decir, g ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y . [2] [3] La función inversa de f también se denota como. [4] [5] [6]
Como ejemplo, considere la función de valor real de una variable real dada por f ( x ) = 5 x - 7 . Pensando en esto como un procedimiento paso a paso (es decir, tomar un número x , multiplicarlo por 5, luego restar 7 del resultado), para revertir esto y obtener x de algún valor de salida, digamos y , desharíamos cada paso en orden inverso. En este caso, significa sumar 7 ay , y luego dividir el resultado entre 5. En notación funcional , esta función inversa estaría dada por,
Con y = 5 x - 7 tenemos que f ( x ) = y y g ( y ) = x .
No todas las funciones tienen funciones inversas. [nb 1] Los que lo hacen se denominan invertibles . Para que una función f : X → Y tenga una inversa, debe tener la propiedad de que para cada y en Y , hay exactamente una x en X tal que f ( x ) = y . Esta propiedad asegura que una función g : Y → X existe con la relación necesaria con f .
Definiciones
Deje que f sea una función cuyo dominio es el conjunto X , y cuyo codominio es el conjunto Y . Entonces f es invertible si existe una función g con dominio Y y codominio X , con la propiedad:
Si f es invertible, entonces la función g es única , [7] lo que significa que hay exactamente una función g que satisface esta propiedad. Por otra parte también se deduce que los rangos de g y f son iguales a sus respectivos codomains. La función g se llama la inversa de f , y por lo general se indica como f -1 , [4] una notación introducida por John Frederick William Herschel en 1813. [8] [9] [10] [11] [12] [nb 2]
Dicho de otra manera, una función, considerada como una relación binaria , tiene una inversa si y solo si la relación inversa es una función en el codominio Y , en cuyo caso la relación inversa es la función inversa. [13]
No todas las funciones tienen una inversa. Para que una función tenga una inversa, cada elemento y ∈ Y debe corresponder a no más de una x ∈ X ; una función f con esta propiedad se llama uno a uno o inyección . Si f -1 es ser una función en Y , a continuación, cada elemento y ∈ Y debe corresponder a algún x ∈ X . Las funciones con esta propiedad se denominan sobreyecciones . Esta propiedad se satisface por definición si Y es la imagen de f , pero puede que no se cumpla en un contexto más general. Para ser invertible, una función debe ser tanto una inyección como una sobreyección. Estas funciones se denominan biyecciones . La inversa de una inyección f : X → Y que no es una biyección (es decir, no una sobreyección), es solo una función parcial en Y , lo que significa que para algunos y ∈ Y , f −1 ( y ) no está definida. Si una función f es invertible, tanto ella como su función inversa f −1 son biyecciones.
Se utiliza otra convención en la definición de funciones, denominada definición de "teoría de conjuntos" o "gráfica" utilizando pares ordenados , lo que hace que el codominio y la imagen de la función sean los mismos. [14] Según esta convención, todas las funciones son sobreyectivas, [nb 3] por lo que la bijetividad y la inyectividad son lo mismo. Los autores que utilicen esta convención pueden utilizar la expresión de que una función es invertible si y solo si es una inyección. [15] Las dos convenciones no tienen por qué causar confusión, siempre que se recuerde que en esta convención alternativa, el codominio de una función siempre se toma como la imagen de la función.
Ejemplo: funciones de cuadratura y raíz cuadrada
La función f : R → [0, ∞) dada por f ( x ) = x 2 no es inyectiva, ya que cada resultado posible y (excepto 0) corresponde a dos puntos de partida diferentes en X - uno positivo y otro negativo, y así esta función no es invertible. Con este tipo de función, es imposible deducir una entrada (única) de su salida. Esta función se denomina no inyectiva o, en algunas aplicaciones, pérdida de información. [ cita requerida ]
Si el dominio de la función está restringido a los reales no negativos, es decir, la función se redefine para ser f : [0, ∞) → [0, ∞) con la misma regla que antes, entonces la función es biyectiva y entonces, invertible. [16] La función inversa aquí se llama función raíz cuadrada (positiva) .
Inversos y composición
Si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces
- , para cada ; y , para cada . [6]
Usando la composición de funciones , podemos reescribir esta declaración de la siguiente manera:
- y
donde id X es la función de identidad en el conjunto X ; es decir, la función que deja su argumento sin cambios. En la teoría de categorías , esta afirmación se usa como la definición de un morfismo inverso .
Considerar la composición de funciones ayuda a comprender la notación f −1 . La composición repetida de una función consigo misma se llama iteración . Si f se aplica n veces, comenzando con el valor x , entonces esto se escribe como f n ( x ) ; entonces f 2 ( x ) = f ( f ( x )) , etc. Dado que f −1 ( f ( x )) = x , al componer f −1 y f n se obtiene f n −1 , "deshaciendo" el efecto de uno aplicación de f .
Notación
Si bien la notación f −1 ( x ) podría malinterpretarse, [6] ( f ( x )) −1 ciertamente denota el inverso multiplicativo de f ( x ) y no tiene nada que ver con la función inversa de f . [12]
De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses usan expresiones como sin −1 ( x ) para denotar la inversa de la función seno aplicada ax (en realidad, una inversa parcial ; ver más abajo). [17] [12] Otros autores creen que esto puede confundirse con la notación del inverso multiplicativo de sin ( x ) , que se puede denotar como (sin ( x )) −1 . [12] Para evitar confusiones, una función trigonométrica inversa a menudo se indica con el prefijo " arc " (en latín arcus ). [18] [19] Por ejemplo, la inversa de la función seno se llama típicamente función arcoseno , escrita como arcosen ( x ) . [4] [18] [19] De manera similar, la inversa de una función hiperbólica se indica con el prefijo " ar " (en latín ārea ). [19] Por ejemplo, la inversa de la función del seno hiperbólico se escribe típicamente como arsinh ( x ) . [19] Otras funciones especiales inversas a veces tienen el prefijo "inv", si se debe evitar la ambigüedad de la notación f −1 . [1] [19]
Propiedades
Dado que una función es un tipo especial de relación binaria , muchas de las propiedades de una función inversa corresponden a propiedades de relaciones recíprocas .
Unicidad
Si existe una función inversa para una función f dada , entonces es única. [20] Esto se sigue ya que la función inversa debe ser la relación inversa, que está completamente determinada por f .
Simetría
Existe una simetría entre una función y su inversa. Específicamente, si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces su inverso f −1 tiene dominio Y e imagen X , y el inverso de f −1 es la función original f . En símbolos, para las funciones f : X → Y y f -1 : Y → X , [20]
- y
Esta afirmación es una consecuencia de la implicación de que para que f sea invertible debe ser biyectiva. La naturaleza involutiva de la inversa se puede expresar de manera concisa mediante [21]
La inversa de una composición de funciones viene dada por [22]
Tenga en cuenta que el orden de g y f se han invertido; para deshacer f seguida de g , primero debemos deshacer g , y luego deshacer f .
Por ejemplo, sea f ( x ) = 3 x y sea g ( x ) = x + 5 . Entonces la composición g ∘ f es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,
Para revertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir por tres,
Esta es la composición ( f −1 ∘ g −1 ) ( x ) .
Autoinversos
Si X es un conjunto, entonces la función de identidad en X es su propia inversa:
Más en general, una función f : X → X es igual a su propia inversa, si y sólo si la composición f ∘ f es igual a Identificación X . Esta función se llama involución .
Inverso en cálculo
El cálculo de una sola variable se ocupa principalmente de las funciones que asignan números reales a números reales. Estas funciones a menudo se definen mediante fórmulas , como:
Una función sobreyectiva f de los números reales a los números reales posee una inversa, siempre que sea uno a uno. Es decir, la gráfica de y = f ( x ) tiene, para cada valor de y posible , solo un valor de x correspondiente y, por lo tanto, pasa la prueba de la línea horizontal .
La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:
Función f ( x ) Inversa f −1 ( y ) Notas x + a y - a a - x a - y mx y/metro m ≠ 0 1/X(es decir, x −1 ) 1/y(es decir, y −1 ) x , y ≠ 0 x 2 √ y (es decir, y 1/2 ) x , y ≥ 0 solamente x 3 3 √ y (es decir, y 1/3 ) ninguna restricción sobre x y y x p p √ y (es decir, y 1 / p ) x , y ≥ 0 si p es par; entero p > 0 2 x lb y y > 0 e x en y y > 0 10 veces log y y > 0 una x ingrese una y y > 0 y a > 0 funciones trigonométricas funciones trigonométricas inversas varias restricciones (ver tabla a continuación) funciones hiperbólicas funciones hiperbólicas inversas varias restricciones
Fórmula para la inversa
Un método para encontrar una fórmula para f −1 , si existe, es resolver la ecuación y = f ( x ) para x . [23] Por ejemplo, si f es la función
entonces debemos resolver la ecuación y = (2 x + 8) 3 para x :
Así, la función inversa f −1 viene dada por la fórmula
A veces, la inversa de una función no se puede expresar mediante una fórmula con un número finito de términos. Por ejemplo, si f es la función
entonces f es una biyección y, por lo tanto, posee una función inversa f −1 . La fórmula para esta inversa tiene un número infinito de términos:
Gráfico de la inversa
Si f es invertible, entonces la gráfica de la función
es igual que la gráfica de la ecuación
Esto es idéntico a la ecuación y = f ( x ) que define la gráfica de f , excepto que los papeles de x y y se han invertido. Así, el gráfico de f -1 se puede obtener a partir de la gráfica de f por conmutación de las posiciones de la x y Y ejes. Esto es equivalente a reflejar la gráfica a través de la línea y = x . [24] [6]
Inversas y derivadas
Una función continua f es invertible en su rango (imagen) si y solo si es estrictamente creciente o decreciente (sin máximos o mínimos locales ). [ cita requerida ] Por ejemplo, la función
es invertible, ya que la derivada f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1 siempre es positiva.
Si la función f es derivable en un intervalo I y f ′ ( x ) ≠ 0 para cada x ∈ I , entonces la inversa f −1 es derivable en f ( I ) . [25] Si y = f ( x ) , la derivada de la inversa viene dada por el teorema de la función inversa ,
Usando la notación de Leibniz, la fórmula anterior se puede escribir como
Este resultado se deriva de la regla de la cadena (ver el artículo sobre funciones inversas y diferenciación ).
El teorema de la función inversa se puede generalizar a funciones de varias variables. Específicamente, una función multivariable diferenciable f : R n → R n es invertible en una vecindad de un punto p siempre que la matriz jacobiana de f en p sea invertible . En este caso, el jacobiano de f −1 en f ( p ) es la matriz inversa del jacobiano de f en p .
Ejemplos del mundo real
- Sea f la función que convierte una temperatura en grados Celsius en una temperatura en grados Fahrenheit , luego su función inversa convierte grados Fahrenheit a grados Celsius,[5] desde
- Suponga que f asigna a cada niño de una familia su año de nacimiento. Una función inversa daría como resultado qué niño nació en un año determinado. Sin embargo, si los hijos de la familia nacieron en el mismo año (por ejemplo, mellizos o trillizos, etc.), la salida no se puede conocer cuando la entrada es el año de nacimiento común. Además, si se da un año en el que no nació ningún niño, entonces no se puede nombrar a un niño. Pero si cada niño nació en un año diferente, y si restringimos la atención a los tres años en los que nació un niño, entonces tenemos una función inversa. Por ejemplo,
- Sea R la función que conduce a un aumento porcentual x de alguna cantidad y F la función que produce una caída porcentual x . Aplicado a $ 100 con x = 10%, encontramos que la aplicación de la primera función seguida de la segunda no restaura el valor original de $ 100, lo que demuestra el hecho de que, a pesar de las apariencias, estas dos funciones no son inversas entre sí.
- La fórmula para calcular el pH de una solución es pH = -log10 [H +]. En muchos casos, necesitamos encontrar la concentración de ácido a partir de una medición de pH. Se utiliza la función inversa [H +] = 10 ^ -pH.
Generalizaciones
Inversos parciales
Incluso si una función f no es uno-a-uno, puede ser posible definir una inversa parcial de f por la restricción del dominio. Por ejemplo, la función
no es uno a uno, ya que x 2 = (- x ) 2 . Sin embargo, la función se vuelve uno a uno si restringimos al dominio x ≥ 0 , en cuyo caso
(Si, en cambio, restringimos al dominio x ≤ 0 , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de y .) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si estamos contentos con que la inversa sea una función multivalor :
A veces, este inverso de valores múltiples se llama el inverso completo de f , y las porciones (como √ x y - √ x ) se denominan ramas . La rama más importante de una función multivalor (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se llama rama principal , y su valor en y se llama valor principal de f −1 ( y ) .
Para una función continua en la línea real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales . Por ejemplo, la inversa de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (ver la imagen adyacente).
Estas consideraciones son particularmente importantes para definir las inversas de las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno no es uno a uno, ya que
para cada x real (y más generalmente sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) para cada entero n ). Sin embargo, el seno es uno a uno en el intervalo [- π/2, π/2] , y el inverso parcial correspondiente se llama arcoseno . Esta se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre - π/2 y π/2. La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa: [26]
función Rango de valor principal habitual arcos - π/2≤ sin −1 ( x ) ≤ π/2 arccos 0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π arctan - π/2 −1 ( x ) < π/2 arccot 0 −1 ( x ) < π segundos de arco 0 ≤ seg −1 ( x ) ≤ π arccsc - π/2≤ csc −1 ( x ) ≤ π/2
Inversas izquierda y derecha
Las inversas izquierda y derecha no son necesariamente iguales. Si g es una inversa a la izquierda para f , entonces g puede o no ser una inversa a la derecha para f ; y si g es una inversa a la derecha para f , entonces g no es necesariamente una inversa a la izquierda para f . Por ejemplo, sea f : R → [0, ∞) denotar el mapa de cuadratura, tal que f ( x ) = x 2 para todo x en R , y sea g : [0, ∞) → R denotar el mapa de raíz cuadrada, tal que g ( x ) = √ x para todo x ≥ 0 . Entonces f ( g ( x )) = x para todo x en [0, ∞) ; es decir, g es una inversa a la derecha de f . Sin embargo, g no es un inverso a la izquierda af , ya que, por ejemplo, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .
Inversos izquierdos
Si f : X → Y , una inversa a la izquierda para f (o retracción de f ) es una función g : Y → X tal que al componer f con g desde la izquierda se obtiene la función de identidad [ cita requerida ] :
Es decir, la función g satisface la regla
- Si , luego
Por lo tanto, g debe ser igual a la inversa de f en la imagen de f , pero puede tomar cualquier valor para los elementos de Y que no están en la imagen.
Una función f es inyectiva si y solo si tiene un inverso a la izquierda o es la función vacía. [ cita requerida ]
- Si g es la inversa izquierda de f , entonces f es inyectiva. Si f (x) = f (y) , entonces .
- Si f: X → Y es inyectiva, f es la función vacía ( X = ∅ ) o tiene una inversa a la izquierda g: Y → X ( X ≠ ∅) , que se puede construir de la siguiente manera: para todo y ∈ Y , si y está en la imagen de f (existe x ∈ X tal que f (x) = y ), sea g (y) = x ( x es única porque f es inyectiva); de lo contrario, deja g (y) sea un elemento arbitrario de X . Para todo x ∈ X , f (x) está en la imagen de f , entonces g (f (x)) = x por arriba, entonces g es una inversa izquierda de f .
En matemáticas clásicas, toda función inyectiva f con un dominio no vacío tiene necesariamente una inversa a la izquierda; sin embargo, esto puede fallar en matemáticas constructivas . Por ejemplo, un inverso a la izquierda de la inclusión {0,1} → R del conjunto de dos elementos en los reales viola la indecomponibilidad al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1} . [ cita requerida ]
Inversos a la derecha
Un inverso a la derecha para f (o sección de f ) es una función h : Y → X tal que [ cita requerida ]
Es decir, la función h satisface la regla
- Si , luego
Por tanto, h ( y ) puede ser cualquiera de los elementos de X que se mapean ay bajo f .
Una función f tiene una inversa derecha si y solo si es sobreyectiva (aunque la construcción de dicha inversa en general requiere el axioma de elección ).
- Si h es la inversa derecha de f , entonces f es sobreyectiva. Para todos , hay tal que .
- Si f es sobreyectiva, f tiene una inversa derecha h , que se puede construir de la siguiente manera: para todos , hay al menos uno tal que (porque f es sobreyectiva), por lo que elegimos uno para que sea el valor de h (y) . [ cita requerida ]
Inversas de dos caras
Un inverso que sea tanto inverso a la izquierda como a la derecha (un inverso de dos lados ), si existe, debe ser único. De hecho, si una función tiene una inversa a la izquierda y una inversa a la derecha, ambas son la misma inversa de dos lados, por lo que se puede llamar inversa .
- Si es un inverso a la izquierda y una inversa a la derecha de , para todos , .
Una función tiene una inversa de dos lados si y solo si es biyectiva.
- Una función biyectiva f es inyectiva, por lo que tiene una inversa izquierda (si f es la función vacía, es su propia inversa a la izquierda). f es sobreyectiva, por lo que tiene una inversa a la derecha. Por lo anterior, el inverso izquierdo y derecho es el mismo.
- Si f tiene una g inversa de dos lados , entonces g es una inversa a la izquierda y una inversa a la derecha de f , por lo que f es inyectiva y sobreyectiva.
Preimágenes
Si f : X → Y es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa ) de un elemento y ∈ Y , es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a y : [ cita requerida ]
La preimagen de y se puede considerar como la imagen de y bajo el inverso completo (multivalor) de la función f .
De manera similar, si S es cualquier subconjunto de Y , la preimagen de S , denotada, [4] es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a S :
Por ejemplo, tome una función f : R → R , donde f : x ↦ x 2 . Esta función no es invertible por las razones discutidas en § Ejemplo: Funciones de cuadratura y raíz cuadrada . Sin embargo, se pueden definir imágenes previas para subconjuntos del codominio:
La preimagen de un solo elemento y ∈ Y , un conjunto singleton { y } , a veces se denomina fibra de y . Cuando Y es el conjunto de números reales, es común referirse a f −1 ({ y }) como un conjunto de niveles .
Ver también
- El teorema de la inversión de Lagrange , da la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica
- Integral de funciones inversas
- Transformada inversa de Fourier
- Computación reversible
Notas
- ^ Es una práctica común, cuando no puede surgir ninguna ambigüedad, dejar el término "función" y simplemente referirse a un "inverso".
- ^ No debe confundirse con la exponenciación numérica, como tomar el inverso multiplicativo de un número real distinto de cero.
- ^ Por tanto, este término nunca se utiliza en esta convención.
Referencias
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α = arcsin m Esta notación se utiliza universalmente en Europa y está ganando terreno rápidamente en este país. Un símbolo menos deseable, α = sin -1 m , todavía se encuentra en los textos ingleses y estadounidenses. La notación α = inv sen m es quizás mejor aún debido a su aplicabilidad general. […] Una relación simbólica similar se mantiene para las otras funciones trigonométricas . Con frecuencia se lee 'arco-seno m' o 'anti-seno m ', ya que se dice que dos funciones mutuamente inversas son la antifunción de la otra.
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[…] §473. Logaritmos repetidos […] Observamos aquí el simbolismo utilizado por Pringsheim y Molk en su artículo conjunto de la Encyclopédie : " 2 log b a = log b (log b a ),…, k +1 log b a = log b ( k log b a ). " […] §533. La notación de John Herschel para funciones inversas, sen −1 x , tan −1 x , etc., fue publicada por él en Philosophical Transactions of London , para el año 1813. Dice ( p. 10 ): "Esta notación cos . −1 e no debe entenderse en el sentido de 1 / cos. E , sino que lo que generalmente se escribe así, arc (cos. = E ). " Admite que algunos autores utilizan cos. m A para (cos. A ) m , pero justifica su propia notación señalando que dado que d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x significan dd x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , debemos escribir sin. 2 x por el pecado. pecado. x , log. 3 x para registro. Iniciar sesión. Iniciar sesión. x . Así como escribimos d - n V = ∫ n V, podemos escribir de manera similar sin. −1 x = arco (sin. = X ), log. −1 x . = C x . Algunos años después, Herschel explicó que en 1813 usó f n ( x ), f - n ( x ), sin. −1 x , etc. ", como supuso entonces por primera vez. Sin embargo, el trabajo de un analista alemán, Burmann , ha llegado a su conocimiento dentro de estos pocos meses, en los que el mismo se explica en una fecha considerablemente anterior Él [Burmann], sin embargo, no parece haber notado la conveniencia de aplicar esta idea a las funciones inversas tan −1 , etc., ni parece en absoluto consciente del cálculo inverso de funciones a las que da lugar. " Herschel añade: "La simetría de esta notación y, sobre todo, las nuevas y más amplias visiones que abre sobre la naturaleza de las operaciones analíticas parecen autorizar su adopción universal". [a] […] §535. Persistencia de notaciones rivales para función inversa. - […] El uso de la notación de Herschel sufrió un ligero cambio en los libros de Benjamin Peirce , para eliminar la principal objeción a ellos; Peirce escribió: "cos [-1] x ", "log [-1] x ". [b] […] §537. Potencias de las funciones trigonométricas. —Se han utilizado tres notaciones principales para denotar, digamos, el cuadrado de sen x , a saber, (sen x ) 2 , sen x 2 , sen 2 x . La notación predominante en la actualidad es sen 2 x , aunque es menos probable que la primera se malinterprete. En el caso de sen 2 x se sugieren dos interpretaciones; primero, sen x · sen x ; segundo, [c] sen (sen x ). Como las funciones del último tipo no suelen presentarse por sí mismas, el peligro de una mala interpretación es mucho menor que en el caso de log 2 x , donde log x · log x y log (log x ) son frecuentes en el análisis. […] La notación sen n x para (sen x ) n ha sido ampliamente utilizada y ahora es la predominante. […]
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enlaces externos
- "Función inversa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]