En teoría de números , la derivada aritmética de Lagarias , o derivada numérica , es una función definida para enteros , basada en la factorización prima , por analogía con la regla del producto para la derivada de una función que se usa en análisis matemático .
Hay muchas versiones de "derivadas aritméticas", incluida la que se analiza en este artículo (la derivada aritmética de Lagarias), como la derivada aritmética de Ihara y las derivadas aritméticas de Buium.
Historia temprana
La derivada aritmética fue introducida por el matemático español Josè Mingot Shelly en 1911. [1] [2] La derivada aritmética también apareció en el Concurso Putnam de 1950 . [3]
Definición
Para los números naturales n, la derivada aritmética D ( n ) [nota 1] se define de la siguiente manera:
- D ( p ) = 1 para cualquier primo p .
- D ( pq ) = D ( p ) q + pD ( q ) para cualquier( Regla de Leibniz ).
Extensiones más allá de los números naturales
Edward J. Barbeau lo extendió a todos los números enteros al demostrar que D (- x ) = - D ( x ) define de manera única la derivada sobre los números enteros. Barbeau también lo extendió a los números racionales, mostrando que la regla familiar del cociente da una derivada bien definida en:
Victor Ufnarovski y Bo Åhlander lo expandieron a ciertos irracionales. En estas extensiones, la fórmula anterior todavía se aplica, pero los exponentes de los números primos e i pueden ser números racionales arbitrarios, lo que permite expresiones comopara ser calculado. [6]
La derivada aritmética también se puede extender a cualquier dominio de factorización único , [6] como los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein , y su campo asociado de fracciones . Si la UFD es un anillo polinomial , entonces la derivada aritmética es la misma que la derivación sobre dicho anillo polinomial. Por ejemplo, la derivada regular es la derivada aritmética para los anillos de funciones racionales y polinomiales complejas y reales univariadas , que se pueden demostrar usando el teorema fundamental del álgebra .
La derivada aritmética también se ha extendido al anillo de números enteros módulo n. [7]
Propiedades elementales
La regla de Leibniz implica que D (0) = 0 (tome p = q = 0 ) y D (1) = 0 (tome p = q = 1 ).
La regla de la potencia también es válida para la derivada aritmética. Para cualquier número entero p y n ≥ 0 :
Esto permite calcular la derivada de la factorización prima de un entero, :
donde ω ( x ) , una función omega prima , es el número de factores primos distintos en x , y v p ( x ) es la valoración p-ádica de x .
Por ejemplo:
o
Comienza la secuencia de derivadas numéricas para k = 0, 1, 2,… (secuencia A003415 en la OEIS ):
Funciones relacionadas
La derivada logarítmica es una función totalmente aditiva :
Desigualdades y límites
EJ Barbeau examinó los límites de la derivada aritmética [8] y encontró que
y
donde Ω ( n ) , una función omega prima , es el número de factores primos en n . En ambos límites anteriores, la igualdad siempre ocurre cuando n es una potencia perfecta de 2, es decir, n = 2 m para algunos m .
Dahl, Olsson y Loiko encontraron que la derivada aritmética de los números naturales está limitada por [9]
donde p es el menor primo de n y la igualdad se cumple cuando n es una potencia de p .
Alexander Loiko , Jonas Olsson y Niklas Dahl encontraron que es imposible encontrar límites similares para la derivada aritmética extendida a números racionales al demostrar que entre dos números racionales cualesquiera hay otros racionales con derivadas arbitrarias grandes o pequeñas.
Orden de la media
Tenemos
y
para cualquier δ > 0, donde
Relevancia para la teoría de números
Victor Ufnarovski y Bo Åhlander han detallado la conexión de la función con conjeturas famosas de la teoría de números como la conjetura de los primos gemelos , la conjetura de los triples primos y la conjetura de Goldbach . Por ejemplo, la conjetura de Goldbach implicaría, para cada k > 1, la existencia de una n de modo que D ( n ) = 2 k . La conjetura de los primos gemelos implicaría que hay infinitos k para los cuales D 2 ( k ) = 1 . [6]
Ver también
- Función aritmética
- Derivación (álgebra diferencial)
- p-derivación
Notas
- ^ En este artículo usamosla notación D ( n ) de Oliver Heaviside para la derivada aritmética de n . Hay varias otras notaciones posibles, como n ′ ; una discusión completa está disponible aquí para los operadores diferenciales generales, de los cuales la derivada aritmética se puede considerar uno. La notación de Heaviside se usa aquí porque resalta el hecho de que la derivada aritmética es una función sobre los enteros y se rinde mejor en notación para la función de iteración D k para derivadas aritméticas de segundo y superior orden.
Referencias
- ^ Shelly, DJM (1911). "Una cuestión de la teoria de los numeros" . Asociación Esp. Granada : 1–12.
- ^ Lava, Paolo Pietro; Balzarotti, Giorgio. La derivata aritmetica: Alla scoperta di un nuovo Approccio alla teoria dei numeri .
- ^ Scholes, John. "10mo Putnam 1950" .
- ^ Barbeau, Edward. "Observaciones sobre una derivada aritmética" . Boletín matemático canadiense . 4 (2): 117-122. doi : 10.4153 / CMB-1961-013-0 .
- ^ Barbeau, Edward (abril de 1973). "Problema". Canad. Matemáticas. Notas del Congreso . 5 (8): 6-7.
- ^ a b c Ufnarovski, Victor; Ahlander, Bo (2003). "Cómo diferenciar un número" (PDF) . Diario de secuencias de enteros . 6 (3).
- ^ Krebs, Mike; Emmons, Caleb; Shaheen, Anthony (noviembre de 2009). "Cómo diferenciar un entero módulo n" . The College Mathematics Journal . 40 (5): 345–353. doi : 10.4169 / 074683409X475661 .
- ^ Barbeau, EJ (1961). Comentarios sobre una derivada aritmética. URL: https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/1FD7F09AD3972692FC97BB23A21D0BD8/S0008439500050773a.pdf/remarks_on_an_arithmetic_derivative.pdf
- ^ Dahl, N., Olsson, J., Loiko, A. (2011). Investigaciones sobre las propiedades de la derivada aritmética. En la página 4. URL: https://arxiv.org/pdf/1108.4762.pdf
- Barbeau, EJ (1961). "Observaciones sobre una derivada aritmética" . Boletín matemático canadiense . 4 : 117-122. doi : 10.4153 / CMB-1961-013-0 . Zbl 0101.03702 .
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