En teoría de números , la conjetura de Artin sobre raíces primitivas establece que un entero dado a que no es un cuadrado perfecto ni -1 es una raíz primitiva módulo infinitos números primos p . La conjetura también atribuye una densidad asintótica a estos números primos. Esta densidad conjetural es igual a la constante de Artin o un múltiplo racional de la misma.
La conjetura fue hecha por Emil Artin a Helmut Hasse el 27 de septiembre de 1927, según el diario de este último. La conjetura aún no se ha resuelto a partir de 2020. De hecho, no existe un valor único de a para el que se demuestre la conjetura de Artin.
Formulación
Sea a un número entero que no es un cuadrado perfecto y no -1. Escribe a = a 0 b 2 con un 0 libre de cuadrados . Denote por S ( a ) el conjunto de números primos p tal que a es una raíz primitiva módulo p . Entonces la conjetura establece
- S ( a ) tiene una densidad asintótica positiva dentro del conjunto de primos. En particular, S ( a ) es infinito.
- En las condiciones que un no es un poder perfecto y que un 0 no es congruente con 1 módulo 4 (secuencia A085397 en la OEIS ), esta densidad es independiente de una y es igual a la constante de Artin , que se puede expresar como un producto infinito
Existen fórmulas de producto conjeturales similares [1] para la densidad cuando a no satisface las condiciones anteriores. En estos casos, la densidad conjetural es siempre un múltiplo racional de C Artin .
Ejemplo
Por ejemplo, tome a = 2. La conjetura afirma que el conjunto de primos p para el que 2 es una raíz primitiva tiene la densidad C Artin anterior . El conjunto de dichos números primos es (secuencia A001122 en la OEIS )
- S (2) = {3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, ...}.
Tiene 38 elementos menores que 500 y hay 95 primos menores que 500. La razón (que conjeturalmente tiende a C Artin ) es 38/95 = 2/5 = 0.4.
Resultados parciales
En 1967, Christopher Hooley publicó una prueba condicional de la conjetura, asumiendo ciertos casos de la hipótesis generalizada de Riemann . [2]
Sin la hipótesis generalizada de Riemann, no existe un valor único de a para el que se demuestre la conjetura de Artin. DR Heath-Brown demostró (Corolario 1) que al menos uno de 2, 3 o 5 es una raíz primitiva módulo infinitamente muchos primos p . [3] También demostró (Corolario 2) que hay como máximo dos números primos para los que falla la conjetura de Artin.
Ver también
- La constante de Stephens , un número que juega el mismo papel en una generalización de la conjetura de Artin que la constante de Artin juega aquí.
- Conjetura de Brown – Zassenhaus
- Prime reptend completo
- Número cíclico (teoría de grupos)
Referencias
- ↑ Michon, Gerard P. (15 de junio de 2006). "La constante de Artin" . Numericana .
- ^ Hooley, Christopher (1967). "Sobre la conjetura de Artin". J. Reine Angew. Matemáticas . 225 : 209–220. doi : 10.1515 / crll.1967.225.209 . Señor 0207630 .
- ^ DR Heath-Brown (marzo de 1986). "Conjetura de Artin para raíces primitivas". The Quarterly Journal of Mathematics . 37 (1): 27–38. doi : 10.1093 / qmath / 37.1.27 .